"Продольный" вектор поляризации электромагнитного поля

[Ascold]

Обычно при явно ковариантном квантовании вводится четвёрка векторов $\varepsilon_0=(1,0,0,0)$ $\varepsilon_1=(0,1,0,0),$ $\varepsilon_2=(0,0,1,0),$ $\varepsilon_3=(0,0,0,1),$ но авторы Mandl и Shaw в их учебнике "Quantum field theory" вводят вектор $n=(1,0,0,0)$ и третий вектор поляризации

$$\varepsilon^\mu_3=\frac{k^\mu-(kn)n^\mu}{((kn)^2-k^2)^{1/2}}, \quad (5.22c)$$

где $(kn)=k^\nu n_\nu,$ причём сказано, что появляется такое выражение для $\varepsilon_3$ потому, что $(kn)n^\mu$ вычитается из временной компоненты волнового вектора, а знаменатель делает $\varepsilon_3$ пространственноподобным единичным вектором. При этом волновой вектор $k$ не задаётся изотропным.
Как увидеть, что (5.22с) - то, что надо, не прибегая к $k^\mu=(k,0,0,k)$?

[amon]

Ascold в сообщении #1341147 писал(а):

Как увидеть, что (5.22с) - то, что надо, не прибегая к $k^\mu=(k,0,0,k)$?

Не до конца понял, чего собственно надо, но попробую. В той СО, где $n=(1,0,0,0)$ величина $s^{\mu}=k^{\mu}-(kn)n^{\mu}$ имеет вид $s=(0,k^1,k^2,k^3).$ Следует это из того, что $(kn)n=(k^0,0,0,0).$ Тогда в той же СО

$$\varepsilon^{\mu}_3=\frac{k^{\mu}-(kn)n^\mu}{((kn)^2-k^2)^{1/2}}=(0,1,1,1)$$

-- 24.09.2018, 21:58 --

Виноват. Последнюю формулу следует читать как

$$\varepsilon^{\mu}_3=\frac{k^{\mu}-(kn)n^\mu}{((kn)^2-k^2)^{1/2}}=(0,\vec{q}),$$

где $q^2=1.$

[Ascold]

Ага,

$$\varepsilon^{\mu}_3=\left( 0,\frac{k^1}{\sqrt{(k^1)^2+(k^2)^2+(k^3)^2}},\frac{k^2}{\sqrt{(k^1)^2+(k^2)^2+(k^3)^2}},\frac{k^3}{\sqrt{(k^1)^2+(k^2)^2+(k^3)^2}} \right).$$

Тогда понятно - чуть дальше авторы, оказывается, упоминают-таки, что пространственная часть этого 4-вектора должна образовывать орт вдоль $\mathbf{k}.$