Как возвести комплексное число в 24 степень

[andreyka]

Нужно вычислить выражение, пользуясь формулой Муавра
$\left(1 - \frac{\sqrt{3}-i}{2} \right)^{24}$

Пытался представить число $\frac{2-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ в тригонометрической форме. Аргумент равен $\arctg \frac{1}{2-\sqrt{3}}$. Не очень табличный тангенс.

Есть соблазн использовать $\frac{\sqrt{3}-i}{2} = \cos(-\pi/6) + i\sin(-\pi/6)$, но не знаю, как.

[thething]

А Вы знаете, что должно получиться что-то красивое? А то так-то пользуйтесь себе формулой Муавра, да формулами для синусов\косинусов арктангенса

[andreyka]

thething в сообщении #1341100 писал(а):

А Вы знаете, что должно получиться что-то красивое? А то так-то пользуйтесь себе формулой Муавра, да формулами для синусов\косинусов арктангенса

Должно получиться $(2-\sqrt{3})^{12}$

[kotenok gav]

Так просто возведите ваше исходное число в квадрат.

[thething]

andreyka в сообщении #1341103 писал(а):

Должно получиться $(2-\sqrt{3})^{12}$

Чё-то сомнительно, может это только действительная часть такая будет? Ну кто бы мог подумать)

По вашему второму соблазну: попробуйте по биному Ньютона разложить.

[kotenok gav]

thething в сообщении #1341104 писал(а):

kotenok gav писал(а):
Должно получиться $(2-\sqrt{3})^{12}$

Мда?

[thething]

(kotenok gav)

Ну проглючило что-то при вставке, я не Вас цитировал, честное слово)

[kotenok gav]

Ну, исправьте.

[Sender]

kotenok gav в сообщении #1341103 писал(а):

Так просто возведите ваше исходное число в квадрат.

И как это поможет?

[teleglaz]

Ну можно так
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\tg{45}+\tg{30}}{1-\tg{45}\tg{30}}=\ldots$
Ну а дальше должно получиться.

[Munin]

andreyka в сообщении #1341097 писал(а):

Аргумент равен $\arctg \frac{1}{2-\sqrt{3}}$. Не очень табличный тангенс.

Если нарисовать геометрически

andreyka в сообщении #1341097 писал(а):

$\frac{\sqrt{3}-i}{2} = \cos(-\pi/6) + i\sin(-\pi/6)$

то станет ясно, что это $75^\circ.$

[Someone]

andreyka в сообщении #1341097 писал(а):

Есть соблазн использовать $\frac{\sqrt{3}-i}{2} = \cos(-\pi/6) + i\sin(-\pi/6)$, но не знаю, как.

Продолжение вашей идеи:

$$1-\frac{\sqrt{3}-i}2=1+\left(-\frac{\sqrt{3}}2+\frac 12i\right)=\left(1+\cos\frac{5\pi}6\right)+i\sin\frac{5\pi}6.$$

И далее вспомнить школьные тригонометрические формулы.

[Евгений Машеров]

andreyka в сообщении #1341097 писал(а):

Аргумент равен $\arctg \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Перенесите X в правую часть, подробности письмом!
Умножьте числитель и знаменатель на $2+\sqrt{3}$

[TOTAL]

andreyka в сообщении #1341097 писал(а):

Пытался представить число $\frac{2-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ в тригонометрической форме. Аргумент равен $\arctg \frac{1}{2-\sqrt{3}}$. Не очень табличный тангенс.

А слабо нетаблично вот эти два найти?

$$\sin\left(2 \cdot \arctg \frac{1}{2-\sqrt{3}} \right), \quad \cos\left(2 \cdot \arctg \frac{1}{2-\sqrt{3}} \right)$$

[grizzly]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1341257 писал(а):

подробности письмом!
Умножьте числитель и знаменатель на $2+\sqrt{3}$

Подробности тремя сообщениями выше