Угол треугольника в квадрате: иные решения

[btoom]

Из Квантика, поэтому положим задачу нестандартной. Понравилась. В замечательной книжке Евдокимова "Сто граней математики" имеет номер 67.

На единичной диагонали BD квадрата ABCD отметили точки M и N так, что BM =
1/3, а DN = 1/4. Чему равен угол MAN?

Решив в лоб (площади, стороны, синусы, определение соседних углов, короче, на два тетрадных листа стандартные формулы с активным использованием теоремы Пифагора), я получил тот же ответ, что и в решении от журнала (гуглится, вот скрин), в котором я сразу начал придираться, что сперва надо доказать это, а потом вон то и вообще слишком спешный вывод и чего это вы на клетках предлагаете чертить.

Вопрос форуму: а есть ли иные решения, проще или сложнее? Задача нацелена на школьников. Будь я восьмиклассником, я бы больше понял более прямолинейное решение, чем ловкость от журнала. Возможно, есть и альтернативный подход.

[grizzly]

btoom в сообщении #1341048 писал(а):

а есть ли иные решения, проще или сложнее?

Куда уж проще? Замечательное решение.

btoom в сообщении #1341048 писал(а):

Возможно, есть и альтернативный подход.

Ну не знаю. Если хотите то же самое, но без клеточек, тупо считаете какие-нибудь тригонометрии -- ведь даны все размеры. Например, $\tg (NAD)=1/3$ и $\tg (KAD)=2$, а потом по формуле тангенса разности $\tg (KAN)=1$. Это будет то же самое решение.

[kotenok gav]

btoom в сообщении #1341048 писал(а):

я сразу начал придираться

Где там можно придраться?

[wrest]

btoom
Просматривается вот такая Пифагорова тройка:
$BM^2+ND^2=MN^2$
Может, в этом направлении подумать.

[StaticZero]

Отметить на диагонали серединку $O$. $\tg (\angle OAM) = 1/3$, $\tg (\angle OAN) = 1/2$. $\angle MAN = \angle MAO + \angle OAN$. Дело в шляпе.

[TOTAL]

kotenok gav в сообщении #1341066 писал(а):

btoom в сообщении #1341048 писал(а):

я сразу начал придираться

Где там можно придраться?

Хорошо бы пояснить положение точки $K$ (в их решении).




Приделаем к квадрату треугольник $ADK$ равный $ABM$.
По теореме Пифагора $NK=5/12$ , т.е. $NK=NM$, т.е. треугольники $AMN$ и $AKN$ равны по трем сторонам, поэтому прямой угол $MAK$ разделен пополам.

[Munin]

TOTAL
Спасибо, вы меня спасли! А то я мучился, почему там теорема Пифагора вылезает при других разбиениях $45^\circ$ на рациональные тангенсы! (Например, $BM=2/5,DN=1/6.$)

[kotenok gav]

TOTAL в сообщении #1341276 писал(а):

Хорошо бы пояснить положение точки $K$ (в их решении).

Подобие.