Доказать наличие предела

[szh]

Добрый день.

Есть последовательность $1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{3}, ...$. Доказать, что она не имеет предела. Решил построить доказательство через критерий Коши, т.к. слабо с ним знаком.

Для того, чтобы последовательность $\{x_n\}$ вообще имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа $\varepsilon > 0$ существовал такой номер $N > 0$, чтобы неравенство $|x_n - x_{n'}| < \varepsilon$ выполнялось для всех $n > N$ и $n' > N$. [Фихтенгольц-1, стр. 83]

Последовательность $\{x_n\}$ не будет иметь конечный предел тогда и только тогда, когда будет существовать некоторое число $\varepsilon > 0$ такое что, для всех $N > 0$ будут существовать $n > N$ и $n' > N$ такие, что выполнится неравенство $|x_n - x_{n'}| > \varepsilon$.

На языке логики предикатов определения фундаментальной и нефундаментальной последовательностей имеют вид:

Фундаментальная $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists N > 0 \ \forall n > N \ \& \ \forall n' > N: |x_n - x_{n'}| < \varepsilon$

Нефундаментальная $\Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0 \ \forall N > 0 \ \exists n > N \ \& \ \exists n' > N: |x_n - x_{n'}| > \varepsilon$


Пусть $n = 2k + 1$, а $n' = 2k$. Тогда получаем неравенство, из которого необходимо вывести $\varepsilon$ (проверить, действительно ли такое число существует):

$|x_n - x_{n'}| > \varepsilon \Leftrightarrow |x_{2k + 1} - x_{2k}| > \varepsilon \Leftrightarrow |1 - \frac{1}{n}| > \varepsilon \Leftrightarrow |\frac{n - 1}{n}| > \varepsilon \Leftrightarrow \frac{n - 1}{n} > \varepsilon \Leftrightarrow \varepsilon < \frac{n - 1}{n}$.

$\frac{n - 1}{n}$ --- правильная положительная дробь (за исключением единицы). Поэтому $\varepsilon > 0$ существует и оно находится в пределах $(0; 1)$. Таким образом, какое бы ни взять натуральное $N > 0$, для него найдется положительное $\varepsilon(N) > 0$, находящееся в пределах $(0; 1)$, что выполнится неравенство $|x_n - x_{n'}| > \varepsilon$ при $n > N$ и $n' > N$.

Собственно вопрос, правильно ли построено доказательство?

[Otta]

szh в сообщении #1340708 писал(а):

Нефундаментальная $\Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0 \ \forall N > 0 \ \exists n > N \ \& \ \exists n' > N: |x_n - x_{n'}| > \varepsilon$

А ниже:

szh в сообщении #1340708 писал(а):

Таким образом, какое бы ни взять натуральное $N > 0$, для него найдется положительное $\varepsilon(N) > 0$, находящееся в пределах $(0; 1)$, что выполнится неравенство $|x_n - x_{n'}| > \varepsilon$ при $n > N$ и $n' > N$.

Вы переставляете кванторы местами. Не для каждого $N$ найдется эпсилон, а наоборот. Найдется эпсилон, одно для всех $N$. Исправьте, и будет нормально.

Есть другие способы, но и так хорошо. Если правильно.

[Someone]

Помимо исправления ошибки, указанной Otta, советую взять конкретное $\varepsilon$.

[thething]

szh в сообщении #1340708 писал(а):

Тогда получаем неравенство, из которого необходимо вывести $\varepsilon$ (проверить, действительно ли такое число существует):
$|x_n - x_{n'}| > \varepsilon \Leftrightarrow |x_{2k + 1} - x_{2k}| > \varepsilon \Leftrightarrow |1 - \frac{1}{n}| > \varepsilon \Leftrightarrow |\frac{n - 1}{n}| > \varepsilon \Leftrightarrow \frac{n - 1}{n} > \varepsilon \Leftrightarrow \varepsilon < \frac{n - 1}{n}$

Тут удобно не доводить цепочку следствий до самого конца, а остановиться на $1-\frac{1}{n}>\varepsilon$, и конкретный эпсилон сразу увидите.

[szh]

Someone в сообщении #1340712 писал(а):

Помимо исправления ошибки, указанной Otta, советую взять конкретное $\varepsilon$.

$\varepsilon = 0.1$ подходит. Но я пытаюсь подставить другое положительное число в промежутке $(0; 1)$. Пусть $\varepsilon = \frac{9}{10}$. Тогда $\frac{n - 1}{n} > \frac{9}{10} \Leftrightarrow n > 10$. Как здесь понимаю, необходимо взять числа $n$ и $n'$, которые были бы больше $10$. Пусть $n = 11$, а $n' = 12$. Тогда $n_{11} = 1$, а $n_{12} = \frac{1}{7}$. Получается $|1 - \frac{1}{7}| = \frac{6}{7} < \frac{9}{10}$. В принципе подобрать номера можно, но они находятся дальше.

[thething]

szh в сообщении #1340727 писал(а):

Но я пытаюсь подставить другое положительное число в промежутке $(0; 1)$

А зачем? Вам надо найти одно число, Вы его нашли. С кванторами как следует разберитесь.

[szh]

thething в сообщении #1340731 писал(а):

szh в сообщении #1340727 писал(а):

Но я пытаюсь подставить другое положительное число в промежутке $(0; 1)$

А зачем? Вам надо найти одно число, Вы его нашли. С кванторами как следует разберитесь.

Если рассматривать $1 - \frac{1}{n}$, то, наверное, $\varepsilon$ ещё меньше. Можно взять $(0; 0.5)$. В этом промежутке.

[Otta]

Вам нужно существование. Поэтому назовите конкретный. Как и по виду $n$ должно быть видно, что они больше произвольного $N$.

[Someone]

szh в сообщении #1340740 писал(а):

Если рассматривать $1 - \frac{1}{n}$, то, наверное, $\varepsilon$ ещё меньше. Можно взять $(0; 0.5)$. В этом промежутке.

Господи, любят же некоторые фигнёй страдать. Вам уже три человека говорят: "Возьмите конкретное $\varepsilon$." Если не понимаете, почему это можно, значит, Вам нужно разобраться со смыслом кванторов: чем отличается $\exists\varepsilon\forall n$ от $\forall n\exists\varepsilon$?

[szh]

thething в сообщении #1340724 писал(а):

szh в сообщении #1340708 писал(а):

Тогда получаем неравенство, из которого необходимо вывести $\varepsilon$ (проверить, действительно ли такое число существует):
$|x_n - x_{n'}| > \varepsilon \Leftrightarrow |x_{2k + 1} - x_{2k}| > \varepsilon \Leftrightarrow |1 - \frac{1}{n}| > \varepsilon \Leftrightarrow |\frac{n - 1}{n}| > \varepsilon \Leftrightarrow \frac{n - 1}{n} > \varepsilon \Leftrightarrow \varepsilon < \frac{n - 1}{n}$

Тут удобно не доводить цепочку следствий до самого конца, а остановиться на $1-\frac{1}{n}>\varepsilon$, и конкретный эпсилон сразу увидите.

Все. Я понял. Я правильно написал: нужно брать любое положительное $\varepsilon < \frac{1}{2}$. Можно рассмотреть разность между нечетными и четными номерами исходной последовательности как отдельную последовательность $a_{2k + 1} - a_{2k} = 1 - \frac{1}{n}$ и проанализировать её свойства. Можно легко доказать, что она монотонно возрастает и ограничена снизу числом $\frac{1}{2}$. А значит и $\varepsilon > 0$ существует до $0.5$. Я взял $0.1$, но можно и $0.4$, тоже вроде подходит.