Уравнение в ЦНЧ

[Ktina]

Решить в целых неотрицательных числах уравнение

$$a!b!=a!+b!+c!$$

[Heart-Shaped Glasses]

Уравнение?

[Ktina]

Heart-Shaped Glasses
Опечатка уже исправлена. До этого вместо знака равенства стоял +.

[kotenok gav]

$c!+1=(a!-1)(b!-1)$
Думаю, надо плясать от этого.

[JohnDou]

(Ответ)

Уравнение имеет единственное решение: $a=b=3$, $c=4$

(Решение)

Допустим что $a>b$, тогда $a!=b!(b+1)(b+2)\cdot ... \cdot (b+x)$. Но тогда $c!$ должно делиться на $b!$. Получаем $b!^2\cdot n=b!(n+1+m)$ или
$(b+1)(b+2)...(b+x)(b!-1)=(b+1)(b+2)...(b+z)+1$
Если $x>z$ то Лср>Пср. Если $x\leq z$ то Лср делится на x, а Пср - нет.
Если $b=a$ то $b!=2+(b+1)(b+2)...(b+z)$. Из аналогичных соображений z делит 2, и уравнение сводится к следующим двум:
$b!=2+(b+1)(b+2)$ - решений не имеет.
$b!=2+b+1$ - имеет ед. решен. $a=b=3$, $c=4$.

[Ktina]

JohnDou
Большое спасибо!