Теория вероятности: двумерное распределение

[FaultLine]

Здравствуйте. Никак не могу полностью решить задачу ниже; все, с чем пока что смог разобраться, я написал.

Дана двумерная случайная величина $(k,t)$. $k$ имеет распределение Пуассона с параметром $12$; $t$ определяется как $\sum\limits_{i=1}^{k}n_i$, где $n_i$ - случайные величины (независимые между собой), которые имеют экспоненциальное распределение с параметром $50$. Требуется:

1. Найти условную функцию распределения, условную плотность распределения, условное математическое ожидание и условную дисперсию случайной величины $t$ при условии $k=a$.

2. Найти двумерную функцию распределения: $F_{k,t}(x,y)$

3. Найти функции распределения отдельных компонент: $F_k(x)$ и $F_t(y)$. Для дискретных компонент (если они есть) выписать ряд распределения, для непрерывных (если они есть) - найти соответствующую плотность распределения вероятностей.

4. Найти центр рассеяния двумерной случайной величины $(k,t)$ и матрицу ковариаций компонент этой случайной величины.

5. Найти вероятность того, что $t$ примет значение, не превышающее $1$.


Мои мысли по поводу решения:

1. Условную функцию распределения $t$ при заданном условии можно найти по формуле:

$$F_t(x|k=a)=\frac{P(t<x,k=a)}{P(k=a)}$$

Обозначим событие $t<x$ как $Z_1$, а событие $k=a$ как $Z_2$:

$$F_t(x|Z_2)=\frac{P(Z_1,Z_2)}{P(Z_2)}$$

Поскольку $k$ и $t$ зависимы, по формуле умножения зависимых событий имеем два варианта действий (на самом деле они эквивалентны, но я на всякий случай проверил оба, чтобы проверить, не удастся ли получить что-то новое):

№ 1: $P(Z_1,Z_2)=P(Z_1)P(Z_2|Z_1)$

№ 2: $P(Z_1,Z_2)=P(Z_2)P(Z_1|Z_2)$

Используя вариант № 1, имеем:

$$F_t(x|k=a)=\frac{P(Z_1)P(Z_2|Z_1)}{P(Z_2)}$$

Опять имеем те же самые два варианта; оба ни к чему не приводят при любом количестве шагов.

Используя вариант № 2, имеем:

$$F_t(x|k=a)=P(Z_1|Z_2)$$

По формуле условной вероятности:

$$F_t(x|k=a)=\frac{P(Z_1,Z_2)}{P(Z_2)}$$

Получаем то же самое, что имели в начале.

Мне говорили, что для вычисления функции распределения здесь надо брать интеграл, но я так и не понял, от чего именно.

Условную плотность распределения можно вычислить, взяв производную от условной функции распределения:

$$p_t(x|k=a)=F_t(x|k=a)'_x$$

Условное математическое ожидание $M(t|k)$ должно считаться по формуле для случая, когда $t$ - непрерывна, а $k$ - дискретна, но формулы для такого случая я не нашел (только для случаев, когда обе величины непрерывны или дискретны), и для расчета в любом случае придется сначала найти условную функцию распределения.

Условная дисперсия считается по формуле (для расчета нужно сначала найти математическое ожидание):

$$D[t|k=a]=M[(t-M[t|k=a])^2|k=a]$$

2. Согласно теореме, можно восстановить двумерное распределение по одномерным лишь в том случае, если одномерные распределения независимы, в то время как по условию они зависимы ($k$ определяет количество суммируемых $n_i$, которые составляют $t$; математически (произведение одномерных распределений должно быть равно двумерному, чтобы они были независимы) проверить независимость все равно не получится, потому что для этого надо знать еще и двумерную функцию распределения).

Я не смог понять точно, что я делаю не так здесь, но, как мне сказали, в данном случае восстановление двумерного распределения возможно, и должно получиться гамма-распределение. Если бы одномерные распределения все-таки были независимыми, можно было бы найти двумерную функцию распределения, просто перемножив одномерные. Если все-таки допустить, что результат перемножения будет иметь какой-то смысл, то остается непонятным, как умножать некоторую функцию распределения на сумму, и является ли вообще этот результат гамма-распределением ($B$ - бета-функция):

$$F_{k,n}(x,y)=\frac{B(x+1,\,12)}{x!}\sum\limits_{i=1}^{k}n_i;\qquad n_i=1-e^{-50y}$$

3. Компонента $k$ имеет распределение Пуассона, поэтому ее функция распределения:

$$F_k(x)=\frac{B(x+1,\,12)}{x!}$$

Так как это дискретное распределение, пишем ряд распределения:



Компонента $t$ имеет функцию распределения:

$$F_t(y)=\sum\limits_{i=1}^{x}n_i;\qquad n_i=1-e^{-50y}$$

Записать ее в более адекватном виде у меня не получается, но очевидно, что это непрерывное распределение, так что нужно будет найти плотность распределения, взяв производную от функции распределения (что опять же непонятно, как делать).


4. Центр рассеяния - это точка с координатами $(M[k], M[t])$, так что для ее нахождения надо найти математические ожидания компонент.

$M[k]=12$ (так как $k$ имеет распределение Пуассона)

Математическое ожидание $t$ можно найти по формуле:

$$M[t]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\sum\limits_{i=1}^{x}(n_i)\,dy;\qquad n_i=1-e^{-50y}$$

Как брать этот интеграл, я понять не могу.

Матрица ковариаций имеет вид:

$$\Sigma=\begin{pmatrix} D[k] & cov(k,t) \\ cov(k,t) & D[t] \\ \end{pmatrix}$$

$D[k]=12$ (так как $k$ имеет распределение Пуассона)

Формула расчета дисперсии $t$:

$$D[t]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(t-M[t])^2p_t(y)\,dy$$

Ковариация же считается по формуле:

$$cov(k,t)=M[kt]-M[k]M[t]=M[kt]-12M[t]$$

5. Можно вручную приблизительно подсчитать вероятность такого события, найдя функции распределения $t$ при наиболее вероятных значениях $k$ и воспользовавшись формулой полной вероятности, но я уверен, что есть более правильный способ это сделать (скорее всего, через предельные теоремы).

[mihaild]

FaultLine в сообщении #1340586 писал(а):

Обозначим событие $t<x$ как $Z_1$, а событие $k=a$ как $Z_2$

Введем событие $Z_3$: $\sum\limits_{i=1}^a n_i < x$.
Заметим, что $Z_1 \cap Z_2 = Z_3 \cap Z_2$, так что и $P(Z_1 Z_2) = P(Z_3 Z_2)$. А события $Z_2$ и $Z_3$ уже независимы.

Вообще, обуславливание относительно дискретной случайной величины устроено довольно просто: мы фиксируем ту часть вероятностного пространства, где она постоянна, остальное выкидываем, а вероятности этой части делим на собственно вероятность того, что случайная величина приняла нужное значение.

(Оффтоп)

У меня подозрение, что вам будет полезно перечитать определения перед решением этих задач.