Разложение вектора на три составляющие

[studedt1221]

Здравствуйте
Помогите решить такую задачу: на плоскости дан вектор $U=(x;y)$. Известно, что он раскладывается в виде $U=u_1 \cdot e_1 + u_2 \cdot e_2 + u_3 \cdot e_3 - (1) $, где $e_1=(0;1), e_2=(\sqrt[2]{3}/2;-1/2), e_3=(-\sqrt[2]{3}/2;-1/2)$.
В задаче требуется найти всевозможные $u_1, u_2, u_3$, которые удовлетворяют выражению $(1)$. Я понимаю, что их несчетное число, но нужно выразить как-то $u_1, u_2, u_3$ через $x,y$.
Для двух векторов знаю, что нужно написать систему и оттуда найти коэффициенты, а для трех не получается.

[StaticZero]

Ну пишите себе систему

$$ \begin{cases} (\mathbf u \mathbf e_1) = u_1 ||\mathbf e_1 ||^2 + u_2 (\mathbf e_1 \mathbf e_2) + u_3 (\mathbf e_1 \mathbf e_3) \\ (\mathbf u \mathbf e_2) = u_1 (\mathbf e_1 \mathbf e_2) + u_2|| \mathbf e_2||^2 + u_3 (\mathbf e_2 \mathbf e_3) \\ \end{cases} $$

и решайте её. Точно так же, как и в обычном случае, только тут будет свободная переменная. Третьего уравнения писать не надо, оно линейно зависимо с другими двумя.

[arseniiv]

Скалярные произведения и нормы ни к чему (ведь их наличия и не гарантировано). $U = \ldots$ — это уже и есть система $x = \ldots, y = \ldots$, которую нужно решать.

-- Пт сен 21, 2018 00:39:46 --

(И вообще что такое $(\mathbf u\mathbf e_1)$?..)

[StaticZero]

arseniiv в сообщении #1340399 писал(а):

(И вообще что такое $(\mathbf u\mathbf e_1)$?..)

Скалярное произведение?

arseniiv в сообщении #1340399 писал(а):

Скалярные произведения и нормы ни к чему (ведь их наличия и не гарантировано). $U = \ldots$ — это уже и есть система $x = \ldots, y = \ldots$, которую нужно решать.

Не настаиваю.

Да, а по поводу главного поста ещё можно заметить, что $\mathbf e_1 \pm \mathbf e_2$ --- весьма интересные векторы.

[studedt1221]

arseniiv в сообщении #1340399 писал(а):

Скалярные произведения и нормы ни к чему (ведь их наличия и не гарантировано). $U = \ldots$ — это уже и есть система $x = \ldots, y = \ldots$, которую нужно решать.

-- Пт сен 21, 2018 00:39:46 --

(И вообще что такое $(\mathbf u\mathbf e_1)$?..)

Получается такая система:

$$ \begin{cases} x=u_2 \cdot \sqrt[2]{3}/2 - u_3 \\ y=u_1 - u_2 \cdot 1/2 - u_3 \cdot 1/2 \end{cases} $$

Тут три неизвестных и два уравнения. Одну из переменных считать любой и другие выразить через нее?

[arseniiv]

StaticZero в сообщении #1340405 писал(а):

Скалярное произведение?

Если я правильно понимаю, и $\mathbf u$ имеет координаты $(u_1,u_2,u_3)$, то как оно возможно?

studedt1221 в сообщении #1340418 писал(а):

Одну из переменных считать любой и другие выразить через нее?

Да, так проще всего.

[StaticZero]

arseniiv,

studedt1221 в сообщении #1340390 писал(а):

на плоскости дан вектор $U=(x;y)$.

[arseniiv]

Ааа. Ну вы бы предупредили что ли.

[studedt1221]

Получилось, что $u_1$ выбираем случайным образом, а $u_2=\frac{\sqrt[2]{3}}{3}x+u_1-y , u_3=u_1-\frac{\sqrt[2]{3}}{3}x-y $.


Есть еще вторая похожая задача : также дан $U=(x;y)$, вычислить возможные $u_1, u_2, u_3$, что выполняется формула $(1)$ и значение $u_1^{2} + u_2^{2} + u_3^{2}$ минимально. Как это можно сделать?

[StaticZero]

studedt1221 в сообщении #1340433 писал(а):

Как это можно сделать?

Функция

studedt1221 в сообщении #1340433 писал(а):

$u_1^{2} + u_2^{2} + u_3^{2}$

содержит один параметр и будет от него зависеть не более чем квадратично.

[Someone]

studedt1221 в сообщении #1340433 писал(а):

$u_2=\frac{\sqrt[2]{3}}{3}x+u_1-y , u_3=u_1-\frac{\sqrt[2]{3}}{3}x-y $

Для корня второй степени указывать показатель степени $^2$ не принято.

[studedt1221]

StaticZero в сообщении #1340434 писал(а):

studedt1221 в сообщении #1340433 писал(а):

Как это можно сделать?

Функция

studedt1221 в сообщении #1340433 писал(а):

$u_1^{2} + u_2^{2} + u_3^{2}$содержит один параметр и будет от него зависеть не более чем квадратично.

Если заменить $u_2,u_3$ в выражении $u_1^{2} + u_2^{2} + u_3^{2}$, то получится $3u_1^{2}+2/3x^{2}+2y^{2}-4u_1y$. Беру производную и минимум получается в точке $u_1=2/3y$. Верно?

[teleglaz]

studedt1221 в сообщении #1340505 писал(а):

Верно?

Почему это минимум? Может это максимум? Вы проверили только необходимые условия экстремума. Надо бы ещё и достаточные проверить. Там глядишь и тип экстремума определится. Наверное, удобнее здесь достаточные условия экстремума в терминах высших производных. Но это на любителя.

[EUgeneUS]

teleglaz в сообщении #1340510 писал(а):

Но это на любителя.

любитель скажет, что сразу видно - это парабола рогам вверх, а значит минимум

[studedt1221]

teleglaz в сообщении #1340510 писал(а):

studedt1221 в сообщении #1340505 писал(а):

Верно?

Почему это минимум? Может это максимум? Вы проверили только необходимые условия экстремума. Надо бы ещё и достаточные проверить. Там глядишь и тип экстремума определится. Наверное, удобнее здесь достаточные условия экстремума в терминах высших производных. Но это на любителя.

Там производная меняет знак, а функция сначала убывает и потом возрастает.
А как иначе? Методом Лагранжа?