Теоремы о пределах

[Free_Student]

Всем хорошего вечера :) Решаю пределы и немного вдумался в теорему про вынесение константы за знак предела.

По теореме, следуя Кудрявцеву, если существует предел $\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$, то $\lim\limits_{x\to{x_0}}cf(x)=c\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$. То есть мы не можем просто вынести константу за знак предела, так как сначала надо доказать, что полученный после вынесения предел существует. Почему тогда в книгах я вижу вынесение констант без доказательств этого существования?

Получается, что запись вроде $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n}{n+1}=3\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=3\cdot{1}=3$ некорректна? Если строго следовать теореме, нужно, насколько я понимаю, отдельно рассмотреть предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}$, показать, что он равен 1, а потом написать нечто вроде "возвращаясь к исходному пределу $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n}{n+1}$, получим, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n}{n+1}=3\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=3\cdot{1}=3$".

Тот же вопрос касается и теоремы о пределе произведения и суммы. Получается, мы не имеем права разбить предел на два, пока не докажем существование каждого предела в отдельности. Но почему тогда в книгах это делают?

[StaticZero]

Free_Student в сообщении #1340364 писал(а):

Получается, мы не имеем права разбить предел на два, пока не докажем существование каждого предела в отдельности

Да.

Free_Student в сообщении #1340364 писал(а):

Но почему тогда в книгах это делают?

Чего именно, доказательства существования пределов порознь? Этого могут не делать, если получающиеся в сумме пределы с очевидностью существуют. Можете привести пример, если не затруднит?

Пример с константой неудачный. Пределы $f(x)$ и $cf(x)$ существуют одновременно, если только $c \ne 0$. С суммой/произведением лучше.

[Vadimovich]

Допустим, вынесли константу за лимит. Если предел того, что осталось, существует, то вынесение констант не вызывает вопросов.
В противном случае, если то, что осталось, не имеет предела - то умножив функцию на константу этот предел не появится.

[Free_Student]

StaticZero, благодарю за ответ! Насчет примера с константой: я взял формулировку из учебника матана Кудрявцева, в котором сказано однозначно, что если существует предел функции $f(x)$, то будет существовать и предел $c\cdot f(x)$, причем для данных пределов будет выполнено соответствующее равенство.

Примеры привести могу, например, из Каплана, которого сейчас просматриваю :)



С точки зрения формальной корректности, как мне кажется, как только мы дошли до предела $\lim\frac{\left(1+\frac{7}{x}\right)^{2x+4}}{\left(1+\frac{5}{x}\right)^{2x+4}}$, если уж так охота разбить один предел на несколько, нужно рассматривать отдельно пределы $\lim\left(1+\frac{7}{x}\right)^{2x}$, $\lim\left(1+\frac{5}{x}\right)^{2x}$, $\lim\left(1+\frac{7}{x}\right)^4$, $\lim\left(1+\frac{5}{x}\right)^{4}$.

И только после нахождения указанных пределов делаем переход от предела дроби к частному и произведению пределов в числителе и знаменателе. А в решении, приведённом в учебнике, мы раскладываем предел на несколько штук так, как будто заранее уверены, что они существуют! Забавное послезнание :) Почему автор делает этот переход без обоснования согласно теоремам?

Да, в конце автор дает комментарий к существованию двух пределов, но, как мне кажется, только для обоснования двух возникших единиц в числителе и знаменателе. А для обоснования перехода нужно рассмотреть ещё два предела - причём ДО перехода, а не после него.

[StaticZero]

Free_Student в сообщении #1340416 писал(а):

заранее уверены, что они существуют!

Задачи обычно даются после теоретического материала соответствующего, тем более, насколько я знаю, про второй замечательный предел рассказывают позже, чем про соответствующие теоремы.

Free_Student в сообщении #1340416 писал(а):

без обоснования согласно теоремам?

А зачем это везде писать? Это предполагается очевидным. Это в сложных случаях необходимо (так как это источник ошибок).

Free_Student в сообщении #1340416 писал(а):

нужно рассмотреть ещё два предела

Рассмотрите. Дело в том, что если обосновывать очевидное в решении каждой задачи, то объём книги увеличится, а полезного содержания не прибавится.

-- 20.09.2018, 23:56 --

Free_Student в сообщении #1340416 писал(а):

Насчет примера с константой: я взял формулировку из учебника матана Кудрявцева, в котором сказано однозначно, что если существует предел функции $f(x)$, то будет существовать и предел $c\cdot f(x)$, причем для данных пределов будет выполнено соответствующее равенство.

Я по другому поводу: придумать пример, где пределов порознь нет, а в сумме есть, — легко. Придумать пример, где $f$ имеет предел, а $cf$ — нет, невозможно (и обосновывать там нечего).

[grizzly]

Free_Student
Вы можете понимать запись этих равенств как черновую или промежуточную, пока не получен положительный результат. Как только он получен, то это само по себе автоматически является оправданием всей цепочки равенств. А вот если в итоге получилось, что какой-то из пределов не существует, тогда вся цепочка равенств становится некорректной и её нужно вычеркнуть. Никакого вывода из несуществования пределов отдельных последовательностей-слагаемых / -множителей сделать нельзя.

Согласен, что об этом стоило бы упоминать в книгах хотя бы петитом. Ну или преподаватель должен это разъяснять.

-- 21.09.2018, 01:08 --

А вот для вынесения константы-множителя правило работает в обе стороны, как уже говорили. Поэтому там равенства получаются корректные.

[Otta]

Автор упомянул об этом в задаче 12.11 и, видимо, посчитал своего читателя достаточно внимательным и восприимчивым, чтобы не повторять одно и то же далее во всем тексте.

[Free_Student]

StaticZero, grizzly, если говорить о константах, то будет ли иметь смысл такая запись?

$\lim\left(0\cdot(-1)^n\right)=0\cdot\lim(-1)^n$

С точки зрения Кудрявцева, и мне это кажется логичным, - не будет, так как перед вынесением константы нужно убедиться в существовании предела после её вынесения.

Насчет обоснований - вариант с пониманием записи как черновой мне кажется наиболее понятным :) Т.е., мы осуществляем операции над пределом, пока либо не придём к корректному ответу, что автоматом оправдает наши действия, либо придем к неверному результату, что наши действия сделает неверными. Хотя с формальной точки зрения должны обосновать существование предела перед переходом.

Otta, я видел этот пример. И выше этого примера (в начале параграфа с теоремами о предельном переходе) есть обоснование для подобных тривиальных случаев. Меня интересует вариант, когда существование пределов, на которые разбивается основной, вовсе не столь очевидно. Получается мы совершаем операцию, не позаботившись заранее про её осуществимость, надеясь на "светлое будущее", в котором оба предела будут найдены. Однако же, например, если мы находим пределы последовательностей, заданных рекуррентно, то перед переходом к пределу в обеих частях равенства мы доказываем существование предела (например, для $x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}$). Здесь уже вариант "перейдём к пределу, и если получим ответ - он и докажет корректность наших операций" не работает.

[Mikhail_K]

Free_Student в сообщении #1340458 писал(а):

Получается мы совершаем операцию, не позаботившись заранее про её осуществимость, надеясь на "светлое будущее", в котором оба предела будут найдены.

Да, Вы всё правильно понимаете. Когда у нас цепочка равенств от предела к его значению, то факт того, что значение в конце этой цепочки вообще получилось, служит обоснованием её корректности. Например, равенство

Free_Student в сообщении #1340458 писал(а):

$\lim\left(0\cdot(-1)^n\right)=0\cdot\lim(-1)^n$

некорректно, но это и не страшно, потому что мы в принципе не смогли бы продолжить эту цепочку до конкретного значения. А каждый раз, когда мы завершаем цепочку равенств конкретным значением, никаких некорректностей нет.

Free_Student в сообщении #1340458 писал(а):

Здесь уже вариант "перейдём к пределу, и если получим ответ - он и докажет корректность наших операций" не работает.

И это тоже верно, в подобных ситуациях существование предела требует обоснования.

Когда мы говорим, что можно писать цепочку равенств, особо не парясь по этому поводу, предполагается, что человек, пишущий эту цепочку, понимает сказанное выше. И в силу опыта решения задач, умеет сходу отличать случаи, когда специальное обоснование существования предела необходимо, от случаев, когда оно очевидно и его можно пропустить.
Если у человека нет такого навыка, то ему, конечно, не стоит бездумно писать равенства с пределами, а стоит каждый раз специально проверять их существование, до тех пор пока он такой навык не приобретёт.

[grizzly]

Free_Student
Да, согласен, пример с нулевой константой тоже можно засчитать.

Free_Student в сообщении #1340458 писал(а):

Хотя с формальной точки зрения должны обосновать существование предела перед переходом.

С формальной точки зрения Вы можете любым удобным для Вас способом найти предел (зачастую его просто угадывают), а потом любыми действиями (по определению, по свойствам и т.п.) доказать, что это и есть предел.

Вы, вероятно, хотели бы вместо равенств видеть примерно такую запись:

$$ \lim_{n\to \infty} \frac{5}{n}=A\Leftarrow 5\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=A\Leftrightarrow 5\cdot 0 =A\Leftrightarrow A=0. $$

А для корректного завершения доказательства нужно ещё сослаться на свойство, что последовательность не может иметь двух различных пределов.

Что ж, тогда будем считать, что использование простых равенств вместо такой записи является удобным общепринятым соглашением. С точки зрения целей методики преподавания я ни в коем случае не хотел бы видеть в учебниках таких записей (даже "петитом"). Пределы и так слишком сложная (психологически) тема для перехода от школьной математики к вузовской.

[Free_Student]

grizzly
Mikhail_K
благодарю за ответы. Я примерно понял, что такая форма подачи выгоднее с методической точки зрения. Или с точки зрения удобства изложения материала.

Просто интуитивно привык думать о цепочке равенств $A=B=C=D$ как логической цепочке "Из А следует В, из В следует С и так далее". Однако здесь получается, что запись $A=B=C=D$ означает примерно следующее: "из А следует В если учесть истинность D, каковую мы докажем позже".

Выходит, что такие равенства с пределами надо читать в обратном порядке. Точнее, пока идут обычные алгебраические преобразования выражения под пределом, то всё ок, но как только начинают применяться теоремы - тут надо читать с конца :) Или не знаю, как точнее выразиться. Например, такой предел $\lim\frac{n+1+\sin\frac{2}{n}}{n}$, по идее, корректно оформить так:

Цитата:

$$\lim\frac{n+1+\sin\frac{2}{n}}{n}=\lim\left(1+\frac{1}{n}+\frac{\sin\frac{2}{n}}{n} \right)$

Так как $1+0+\frac{1}{2}=\lim{1}+\lim\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\cdot\lim\frac{\sin\frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}=\lim\left(1+\frac{1}{n}+\frac{\sin\frac{2}{n}}{n}\right)$, то для исходного предела получим:

$\lim\frac{n+1+\sin\frac{2}{n}}{n}=\frac{3}{2}.$

[thething]

Free_Student в сообщении #1340502 писал(а):

Например, такой предел $\lim\frac{n+1+\sin\frac{2}{n}}{n}$, по идее, корректно оформить так:

Скорее так: $$\lim\frac{n+1+\sin\frac{2}{n}}{n}=\lim\left(1+\frac{1}{n}+\frac{\sin\frac{2}{n}}{n} \right)=1+0+0=1$, поскольку существуют конечные пределы каждого из слагаемых и выполнены условия теоремы о пределе суммы (все эти слова проговариваются мысленно, ну или в особо редком случае могут быть записаны). То, что Вы пишете строчкой ниже -- никому не нужное буквоедство (мое скромное мнение). А так, обозначенные Вами теоремы о пределах дают лишь достаточные условия, поэтому если эти условия не выполняются, то сказать о пределе в левой части мы ничего не можем (см. Ваш пример с нулевой константой) и нужно отдельное исследование.

[Free_Student]

thething
вы правы, я неверно перепечатал - надо было ещё раз вычитать перед отправкой :(
Вот так должно было быть по изначальной задумке:

Цитата:

$$\lim\frac{n+1+n^2\sin\frac{2}{n}}{n}=\lim\left(1+\frac{1}{n}+\frac{\sin\frac{2}{n}}{\frac{1}{n}} \right)$

Так как $1+0+2=\lim{1}+\lim\frac{1}{n}+2\cdot\lim\frac{\sin\frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}=\lim\left(1+\frac{1}{n}+\frac{\sin\frac{2}{n}}{\frac{1}{n}}\right)$, то для исходного предела получим:

$\lim\frac{n+1+n^2\sin\frac{2}{n}}{n}=3.$

Извиняюсь ещё раз, торопливость и невнимательность :(