Множество на вещественной прямой

[meshok]

Пусть $A \subset \mathbb{R} $ является объединением некоторого семейства попарно непересекающихся отрезков. Может ли так быть, что в любом интервале прямой есть точка из $A$.
Построим сначала такое множество $A_1$ для отрезка $[0,1]$. $A_1=[\frac{1}{3},\frac{2}{3}] \cup\left([\frac{1}{9},\frac{2}{9}] \cup[\frac{7}{9},\frac{8}{9}]\right)\cup...$ Множество $A_1$ это объединение тех интервалов (с присоединенными концами), которые выкидываются при построении множества Кантора.
Затем построим такие же множества в каждом отрезке $[0,-1], [1,2], [-1,-2], [2,3], ... $ и возьмем их объединение $A=\cup A_k$.
Возьмем произвольный интервал, в нем обязательно найдется точка, в троичной записи которой есть хотя бы одна единица, и значит она принадлежит $A$.
Это правильное решение?

[grizzly]

meshok в сообщении #1339934 писал(а):

Это правильное решение?

Идея решения правильная. Если это учебная задача, тогда нужно, чтобы свойства канторового множества (или хотя бы его построение) были уже известны и нужно сослаться на нужные свойства в нужном месте. В идеале, всякие обозначения при построении $A_k$ можно было сделать чуть аккуратнее, но это уже придирки.

[meshok]

Спасибо. Да, задачка учебная, но сдавать мне её никому не нужно, делал её ради себя.

[grizzly]

meshok в сообщении #1339957 писал(а):

делал её ради себя.

А, ну для этих целей вполне достаточно. Заходите ещё