Вычисления в координатах Плюккера

[george66]

Известно, что поворот $\mathbb{R}^3$ задаётся кватернионом нормы единица $q$ по правилу
$x\to qxq^{-1}$
Известно, что поворот $\mathbb{R}^4$ задаётся парой кватернионов нормы единица $q_1,q_2$ по правилу
$x\to q_1xq_2^{-1}$
Меня интересует действие поворота на двумерных линейных подпространствах $\mathbb{R}^4$ (или, равносильно, на прямых в проективном пространстве $P^3$). Они задаются шестёрками чисел $p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12}$ (координатами Плюккера). И вот как задать преобразование этих координат при вращении, заданном парой кватернионов? Я подозреваю, что если координаты Плюккера сгруппировать в два трёхмерных вектора
$u=(p_{01}+p_{23},p_{02}+p_{31},p_{03}+p_{12})$
$v=(p_{01}-p_{23},p_{02}-p_{31},p_{03}-p_{12})$
то эти векторы должны преобразовываться как векторы трёхмерного пространства
$u\to q_1 u q_1^{-1}$
$v\to q_2 v q_2^{-1}$
Может быть, об этом где-нибудь написано?

[arseniiv]

Подпишусь на тему, посоветовать ничего не имею. Разве что проверить чуть позже, работает ли предложенное. А откуда пришли выражения для $u, v$?

george66 в сообщении #1339505 писал(а):

И вот как задать преобразование этих координат при вращении, заданном парой кватернионов?

Кстати, можно поначалу левый или правый кватернион брать единичным, что разделит вращение на две части, и это может упростить что-нибудь.

[george66]

Получено мучительным вычислением с помощью чисел Клиффорда. Координаты Плюккера обычно разбивают на два вектора
$d=(p_{01},p_{02},p_{03})$
$m=(p_{23},p_{31},p_{23})$
которые называются "сдвиг" и "момент" и имеют геометрический смысл
https://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates
я взял сумму и разность
$u=d+m$
$v=d-m$

[Munin]

Если вычислением, тогда откуда неуверенность?

Может быть, это можно доказать, переведя с языка кватернионов на язык матричной алгебры?

[arseniiv]

Может быть, акцент на том, не написано ли где-то более объемлющих вещей (например, как повернуть произвольный поливектор в произвольномерном пространстве), или хотя бы более прозрачного вывода.

Munin в сообщении #1339804 писал(а):

Может быть, это можно доказать, переведя с языка кватернионов на язык матричной алгебры?

Можно ожидать, что раз вычисления с алгеброй Клиффорда были мучительными, с матрицами будет ещё страшнее.

[george66]

Доказывать вычислением нехорошо, надо понять глубокую суть вещей.

[george66]

В книжке Lounesto про спиноры указано, что
$Spin(4)\cong Spin(3)\times Spin(3)$
доказывает через числа Клиффорда. С кватернионами придумал такое рассуждение:
пусть даны четырёхмерный вектор
$x=(x_0,x_1,x_2,x_3)$
и бивектор в четырёхмерном пространстве, задающий двумерное подпространство
$p=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$
Бивектор разделим на два трёхмерных вектора
$d=(p_{01},p_{02},p_{03})$
$m=(p_{23},p_{31},p_{12})$
Вектор лежит в плоскости бивектора, если внешнее произведение равно нулю
$x\wedge p=0$
Добросовестно выписав и сгруппировав коэффициэнты внешнего произведения (их 12), получаем два векторных равенства
$(x_1,x_2,x_3)\cdot m = 0$
$(x_1,x_2,x_3)\times d = x_0m$
Далее, будем считать вектор $x$ кватернионом
$x_0+x_1i+x_2j+x_3k$
и перепишем два векторных равенства так
$\operatorname{Im}(x)\cdot m=0$
$\operatorname{Im}(x)\times d = \operatorname{Re}(x)m$
Далее, будем векторы $d,m$ тоже считать кватернионами
$p_{01}i+p_{02}j+p_{03}k$
$p_{23}i+p_{31}j+p_{12}k$
и выразим два векторным равенства одной формулой с умножением кватернионов
$(d+m)x=x(d-m)$
которую выведу завтра. Из неё видно, что если $x$ преобразуется по формуле
$x\to q_1xq_2^{-1}$
то векторы
$u=d+m$
$v=d-m$
должны преобразовываться по формулам
$u\to q_1uq_1^{-1}$
$v\to q_2vq_2^{-1}$
чтобы сохранялась инцидентность
$q_1(d+m)q_1^{-1}q_1xq_2^{-1}=q_1xq_2^{-1}q_2(d-m)q_2^{-1}$

[arseniiv]