2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисления в координатах Плюккера
Сообщение16.09.2018, 22:57 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Известно, что поворот $\mathbb{R}^3$ задаётся кватернионом нормы единица $q$ по правилу
$x\to qxq^{-1}$
Известно, что поворот $\mathbb{R}^4$ задаётся парой кватернионов нормы единица $q_1,q_2$ по правилу
$x\to q_1xq_2^{-1}$
Меня интересует действие поворота на двумерных линейных подпространствах $\mathbb{R}^4$ (или, равносильно, на прямых в проективном пространстве $P^3$). Они задаются шестёрками чисел $p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12}$ (координатами Плюккера). И вот как задать преобразование этих координат при вращении, заданном парой кватернионов? Я подозреваю, что если координаты Плюккера сгруппировать в два трёхмерных вектора
$u=(p_{01}+p_{23},p_{02}+p_{31},p_{03}+p_{12})$
$v=(p_{01}-p_{23},p_{02}-p_{31},p_{03}-p_{12})$
то эти векторы должны преобразовываться как векторы трёхмерного пространства
$u\to q_1 u q_1^{-1}$
$v\to q_2 v q_2^{-1}$
Может быть, об этом где-нибудь написано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисления в координатах Плюккера
Сообщение17.09.2018, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Подпишусь на тему, посоветовать ничего не имею. Разве что проверить чуть позже, работает ли предложенное. А откуда пришли выражения для $u, v$?

george66 в сообщении #1339505 писал(а):
И вот как задать преобразование этих координат при вращении, заданном парой кватернионов?
Кстати, можно поначалу левый или правый кватернион брать единичным, что разделит вращение на две части, и это может упростить что-нибудь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисления в координатах Плюккера
Сообщение17.09.2018, 20:08 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Получено мучительным вычислением с помощью чисел Клиффорда. Координаты Плюккера обычно разбивают на два вектора
$d=(p_{01},p_{02},p_{03})$
$m=(p_{23},p_{31},p_{23})$
которые называются "сдвиг" и "момент" и имеют геометрический смысл
https://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates
я взял сумму и разность
$u=d+m$
$v=d-m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисления в координатах Плюккера
Сообщение17.09.2018, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Если вычислением, тогда откуда неуверенность?

Может быть, это можно доказать, переведя с языка кватернионов на язык матричной алгебры?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисления в координатах Плюккера
Сообщение17.09.2018, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Может быть, акцент на том, не написано ли где-то более объемлющих вещей (например, как повернуть произвольный поливектор в произвольномерном пространстве), или хотя бы более прозрачного вывода.

Munin в сообщении #1339804 писал(а):
Может быть, это можно доказать, переведя с языка кватернионов на язык матричной алгебры?
Можно ожидать, что раз вычисления с алгеброй Клиффорда были мучительными, с матрицами будет ещё страшнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисления в координатах Плюккера
Сообщение17.09.2018, 22:59 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Доказывать вычислением нехорошо, надо понять глубокую суть вещей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисления в координатах Плюккера
Сообщение18.09.2018, 04:11 
Заслуженный участник


31/12/15
884
В книжке Lounesto про спиноры указано, что
$Spin(4)\cong Spin(3)\times Spin(3)$
доказывает через числа Клиффорда. С кватернионами придумал такое рассуждение:
пусть даны четырёхмерный вектор
$x=(x_0,x_1,x_2,x_3)$
и бивектор в четырёхмерном пространстве, задающий двумерное подпространство
$p=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$
Бивектор разделим на два трёхмерных вектора
$d=(p_{01},p_{02},p_{03})$
$m=(p_{23},p_{31},p_{12})$
Вектор лежит в плоскости бивектора, если внешнее произведение равно нулю
$x\wedge p=0$
Добросовестно выписав и сгруппировав коэффициэнты внешнего произведения (их 12), получаем два векторных равенства
$(x_1,x_2,x_3)\cdot m = 0$
$(x_1,x_2,x_3)\times d = x_0m$
Далее, будем считать вектор $x$ кватернионом
$x_0+x_1i+x_2j+x_3k$
и перепишем два векторных равенства так
$\operatorname{Im}(x)\cdot m=0$
$\operatorname{Im}(x)\times d = \operatorname{Re}(x)m$
Далее, будем векторы $d,m$ тоже считать кватернионами
$p_{01}i+p_{02}j+p_{03}k$
$p_{23}i+p_{31}j+p_{12}k$
и выразим два векторным равенства одной формулой с умножением кватернионов
$(d+m)x=x(d-m)$
которую выведу завтра. Из неё видно, что если $x$ преобразуется по формуле
$x\to q_1xq_2^{-1}$
то векторы
$u=d+m$
$v=d-m$
должны преобразовываться по формулам
$u\to q_1uq_1^{-1}$
$v\to q_2vq_2^{-1}$
чтобы сохранялась инцидентность
$q_1(d+m)q_1^{-1}q_1xq_2^{-1}=q_1xq_2^{-1}q_2(d-m)q_2^{-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисления в координатах Плюккера
Сообщение18.09.2018, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
:appl:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group