Доказательство для предела периодической последовательности

[szh]

Добрый день,

Разбираю пример из учебника по диф и инт исчислению Фихтенгольца Г.М. Есть последовательность (том 1, стр. 49, п. 25, пример 2):

$a_n = \frac{2 + (-1)^n}{n}$

Опираясь на определение, необходимо доказать, что она бесконечно малая. Как видно, эта последовательность распадается на две - $\frac{1}{n}$ для нечётных и $\frac{3}{n}$ для чётных. Первая мысль приходит доказать, что обе они бесконечно малые, а раз они обе бесконечно малые, и вся последовательность бесконечно малая.

Но наверняка это неправильно. Есть теорема: если последовательность сходящаяся, т.е. имеет предел, то тот же предел имеет и её частичная последовательность. Но, как я понимаю, обратного действия эта теорема не имеет. Т.е. нельзя сказать, что если подпоследовательности имеют один предел, тот же предел имеет и вся последовательность.

Как правильно доказать бесконечную малость указанной последовательности?

[Otta]

Самый банальный способ - по определению.

[thething]

Или что-нибудь про произведение бесконечно малой на ограниченную

[Otta]

Или по теореме о двух милиционерах.

В данном случае без разницы, это по сути одно и то же.

[thething]

Интересно другое: раз пример из Фихтенгольца, то там и объяснение приводится. Собственно, в чём тогда вопрос? Или слова "разбираю пример" следует понимать, как "разбираю самостоятельно, не подглядывая"?

[szh]

thething в сообщении #1339166 писал(а):

Интересно другое: раз пример из Фихтенгольца, то там и объяснение приводится. Собственно, в чём тогда вопрос? Или слова "разбираю пример" следует понимать, как "разбираю самостоятельно, не подглядывая"?

Там дано только такое объяснение: $|x_n| \leq \frac{3}{n} < \varepsilon$. Теоремы о предельных переходах даются только в следующих пунктах. Но, думаю, тут и используется теорема о двух милиционерах. Можно матем индукцией доказать, что последовательность ограничена снизу нулем, т.е. принимает только положительные значения. Пусть это будет постоянная величина $b_n = 0$. С другой элементы данной последовательности будут всегда меньше либо равны $c_n = \frac{3}{n}$. Поэтому $b_n \leq a_n \leq c_n$. Т.е $0 \leq \frac{2 + (-1)^n}{n} \leq \frac{3}{n}$. Доказано.

[thething]

Ну тогда это по определению предела сделано, запишите и всё получится. Ваши рассуждения с подпоследовательностями, кстати, тоже сильно дальше идут.