Проверить является ли функция метрикой на R^n

[erastov]

Проверьте является ли следующая функция метрикой на $R^n$:
$d(x,y) = \sum\limits_{i=1}^{n} {|x^i - y^i|}$
Подскажите как доказывать подобного рода штуки, понимаю что использовать нужно свойства метрики, но кроме как подстановкой точек не знаю как доказать первые свойства, последнее неравенство вообще не понимаю как доказать в общем случае. Подскажите, если не трудно, куда читать, что посмотреть? Спасибо.

[thething]

Напишите свойства, которые надо доказать и конкретно, что у Вас получилось, а что -- нет.

[erastov]

1. $d(x,y) \geqslant 0;$
2. $(d(x,y) = 0) \Leftrightarrow (x = y);$
3. $d(x,y) = d(y,x);$
4. $d(x,z) \leqslant d(x, y) + d(y, z).$

1-3 получается доказать подстановкой банальной точек и чисто интуитивно, но опять же не в общем случае, к 4-му даже не знаю как подступиться. Проблема в том что у меня вообще нет опыта в решении подобных задач, только делаю первые шаги в этом как семимесячный ребенок.

[Lia]

Пункт первый докажите, пожалуйста. Безо всякой банальной подстановки точек. Он попросту очевиден.
Как и третий, и второй.
Для четвертого нужно немного знать, но уж очень немного.

В общем, что можете, какие рассуждения получаются, те и приведите.

Указание: если тяжело рассуждать в общем случае, сделайте случай $n=1$.
Получится - попробуйте $n=2$. Тогда будет понятно, о чем говорить.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.