Норма функционала

[AnthonyP]

Нужно вычислить $\left\lVert f \right\rVert$, если $f(x)=\frac{1}{5} \big( x(-1)+x(1) \big)$
Оценку провести удалось $\left\lVert f \right\rVert \leqslant \frac{2}{5}$

Если смотреть по определению, то $\left\lVert f \right\rVert$ равен некоторому "C", если $\left\lvert f(x) \right\rvert \leqslant C\left\lVert x \right\rVert \Rightarrow \left\lVert f \right\rVert\leqslant C$ и $\exists x_0 \in X$ для которого $\frac{\left\lvert f(x_0) \right\rvert}{\left\lVert x_n \right\rVert}=C$

Остается вопрос как искать этот $x_0$? Пытаться подобрать?

Допустим $x_0=1$, тогда следовательно и $\left\lVert x_0 \right\rVert=1$
$f(x_0)=\frac{1}{5}(x_0+x_0)=\frac{1}{5}(1+1)$ итого $\left\lVert f \right\rVert = \frac{2}{5}$?

[mihaild]

А норма на иксах какая?

AnthonyP в сообщении #1338162 писал(а):

$\exists x_0 \in X$ для которого $\frac{\left\lvert f(x_0) \right\rvert}{\left\lVert x_n \right\rVert}=C$

Это в общем случае неверно.

AnthonyP в сообщении #1338162 писал(а):

Допустим $x_0=1$, тогда следовательно и $\left\lVert x_0 \right\rVert=1$
$f(x_0)=\frac{1}{5}(x_0+x_0)=\frac{1}{5}(1+1)$ итого $\left\lVert f \right\rVert = \frac{2}{5}$?

Ну да, вы доказали, что норма не превосходит $\frac{2}{5}$, и что норма не меньше $\frac{2}{5}$ (отношение модуля функционала к норме вектора точно не превосходит нормы функционала). Следовательно, норма равна $\frac{2}{5}$.

[AnthonyP]

mihaild в сообщении #1338163 писал(а):

А норма на иксах какая?

Забыл дописать, что $x: C[-1,1]$ и $\left\lVert x \right\rVert = \max \left\lvert x(t) \right\rvert$ $t\in[-1,1]$

[DeBill]

AnthonyP в сообщении #1338162 писал(а):

Остается вопрос как искать этот $x_0$? Пытаться подобрать?

Ага - исходя из использованных оценок

[alcoholist]

AnthonyP в сообщении #1338162 писал(а):

Если смотреть по определению, то $\left\lVert f \right\rVert$ равен некоторому

Почти всегда проще использовать определение

$$ \|f\|=\sup_{\|x\|=1}|f(x)| $$