Покрашенные числа

[Ktina]

Каждое натуральное число покрашено в один из $n\in\mathbb{N}$ цветов. Докажите, что найдётся цвет, числа которого обладают следующим свойством: для любых двух чисел этого цвета найдется какое-то общее кратное этих чисел того же цвета.

[upgrade]

Или я не понял, или буду красить все простые кроме единицы в один цвет и среди них не будет никаких пар с кратными их же цвета, а как покрашены остальные уже неважно

[mihaild]

upgrade, по цвету квантор существования.
Давайте для цвета $i$ выберем пару чисел $a_i, b_i$, такую что все их общие кратные имеют цвет, отличный от $i$. Вопрос: в какой цвет покрашено число $\prod\limits_i a_i b_i$?

[Ktina]

upgrade в сообщении #1337092 писал(а):

Или я не понял, ...

Вы не поняли. Требуется доказать, что найдётся хотя бы один цвет с требуемым свойством.

-- 06.09.2018, 23:35 --

mihaild в сообщении #1337099 писал(а):

Вопрос: в какой цвет покрашено число $\prod\limits_i a_i b_i$?

Не может быть покрашено ни в один из цветов - противоречие.

-- 06.09.2018, 23:36 --

mihaild
Большое спасибо!