Сумма степеней n натуральных чисел

[MotJuMi]

Задание. Вычислите $1^5 + 2^5 + ... + n^5$.
Указание. Введите функции $S_k(n) := 1^ + 2^k + ... + n^k$ и докажите, что $S_k$ – многочлен степени $k+1$. Вычислите $S_0, S_1, S_2, ...$ – сначала решив системы линейных уравнений, а затем сравнив $S_k$ с производными $S_{k+1}$.
Пытался решить двумя способами:
1) Методом неопределённых коэффициентов, выражая $S_2(n)$ и $S_2(n+1)$ через $An^3 + Bn^2 + Cn + D$. Затем, вычитая второе из первого, получаю $(n+1)^2 = A(3n^2 + 3n + 1) + B(2n + 1) + C$. Подставляю $n = -1/2; \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{6};$
Где-то на этом этапе ошибка.
2) $(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$
$n^2 - (n-1)^2 = 2(n-1) + 1$
$\vdots$
$2^2 - 1^2 = 2 + 1$
Складываем все выражения. Слева $(n+1)^2 - 1$; справа $2S_1 + S_0$. Явно выражаю $S_1$. Делаю то же самое для $S_2, ..., S_5$.
В первом подходе использую решение СЛУ, но не уверен, что автор имел в виду именно это. Во втором подходе всё решается без СЛУ.
Помогите, пожалуйста, найти ошибку в первом подходе, а также понять, как решить задание, следуя указанию автора.

[mihaild]

MotJuMi в сообщении #1336993 писал(а):

Подставляю $n = -1/2; \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{6};$

Куда подставляете и как получаете?
У вас было равенство двух многочленов от $n$, откуда появились комплексные числа?

[MotJuMi]

Подставляю в равенство корни многочленов при коэффициентах A, B, чтобы избавиться от них. Корень $2n+1: n = -1/2$. У $3n^2 + 3n + 1$ действительных корней нет, поэтому комплексные числа подставляю.

[thething]

MotJuMi
Какое-то мутное указание. Кажется, что требуют много лишнего, когда достаточно всего лишь вот этого

MotJuMi в сообщении #1336993 писал(а):

сравнив $S_k$ с производными $S_{k+1}$.

Если $S_1$ вычисляется элементарно, то все остальные эски вычисляются по рекуррентной формуле, интегрированием.

[mihaild]

MotJuMi в сообщении #1336996 писал(а):

Подставляю в равенство корни многочленов при коэффициентах A, B, чтобы избавиться от них.

Конечно если подставить конкретное $n$, то равенство получится верным. Но вам-то нужно найти $A, B, C$ - зачем мучаться и подставлять страшные $n$, если можно просто приравнять значения при равных степенях? (или хотя бы подставить менее страшные $n$)

[MotJuMi]

Только что понял, что в первом подходе надо просто раскрыть скобки и решить СЛУ, а я зачем-то подставлял корни многочленов, чтобы избавиться от лишних коэффициентов. Хотя всё равно не понимаю, почему предыдущее решение "не работает".

P.S. Пока писал, вы уже мне ответили :)