Дуальная группа

[Duelist]

В Ленге приводится следующая теорема и доказательство к ней. У меня док-во получилось несколько иным, также я обобщил теорему на произвольное конечное произведение. Хочу проверить, верно ли моё док-во. Ниже формулировка теоремы из Ленга и вложения соответствующих страниц. Затем привожу своё изложение.

Если $A$ - конечная абелева группа, представимая в виде произведения $A=B \times C,$ то $A^*$ (дуальная к $A$) изоморфна $B^* \times C^*.$ Всякая конечная абелева группа изоморфна своей дуальной. Ленг. Группы. § 11.










Если $A$ - конечная абелева группа, представимая в виде произведения $G_1 \times \cdots \times G_n,$ то $A^*$ изоморфна $G_1^* \times \cdots \times G_n^*.$ Всякая конечная абелева группа изоморфна своей дуальной.

Построим изоморфизм между $G_1^* \times \cdots \times G_n^*$ и $(G_1 \times \cdots \times G_n)^*.$ Пусть $\psi_1, \ldots , \psi_n$ лежат в $Hom (G_n, Z_{m_1}) \ldots Hom(G_n, Z_{m_n}).$ Тогда $( \psi_1 \ldots \psi_n ) \in G_1^* \times \cdots \times G_n^*. $
Заметим, что показатель $G_1 \times \cdots \times G_n$ есть нок показателей $G_1 \ldots G_n,$ поэтому для $Hom(A, Z_m)$ порядок $Z_m$ есть нок $\left| Z_{m_1} \right| \ldots \left| Z_{m_n} \right|$ и $Z_{m_1} \ldots Z_{m_n}$ - подгруппы $Z_m$. Группа (циклическая) $Z_m$ же содержится в прямой сумме (циклических) групп $Z_{m_1} \ldots Z_{m_n}.$
Определим для $(\psi_1 \ldots \psi_n) соответствующий эл-т в $ (G_1 \times \cdots \times G_n)^*$ положив ля него образом $f: (G_1 \times \cdots \times G_n) \to Z_m, $ $ (x_1 \ldots x_n) \to \psi_1 (x_1) + \ldots + \psi_n (x_n). $
Определим обратный гомоморфизм, ставя в соответствие для $ g \in Hom(A, Z_m), $ где $ g(x_1 \ldots x_n) = \varphi (x_1) + \ldots + \varphi (x_n), $ гомоморфизм $ ( \varphi_1 \ldots \varphi_n) \in G_1^* \times \cdots \times G_n^* ,$ что мы можем сделать, поскольку, во-первых, $g$ есть сумма сужений $ g $ на $ \{0\} \times \ldots \times G_i \times \ldots \times \{0\} $, во-вторых, $ Z_m $ содержится в прямой сумме групп $Z_{m_1} \ldots Z_{m_n}$, а $\psi_i (G_i)$ - подгруппа в $Z_{m_i}$. Таким образом, мы нашли обратный гомоморфизм, а потому установлен требуемый изоморфизм.
Вторая часть утверждения следует из того, что всякая конечная абелева группа есть прямое произведение циклических групп, для которых данное утверждение легко проверить, с последующим применением первого утверждения теоремы.

[alcoholist]

Duelist, а почему бы стандартно, по индукции не доказать? Вот например, для $n=3$

$$ \Bigl(G_1\times G_2\times G_3\Bigr)^*\simeq \Bigl(G_1\times G_2\Bigr)^*\times G_3^*\simeq G_1^*\times G_2^*\times G_3^* $$

[Duelist]

alcoholist
Спасибо.
Но ведь, вроде бы, док-во для произведения двух групп, требуемое при индукции, принципиально не отличается от док-ва для конечного произведения групп, приведённого выше. По крайней мере, у меня так выходит.

[alcoholist]

для двух меньше букв
а дальше -- стандартно
вопрос удобства

[Duelist]

Ок, понятно. Спасибо.