Система уравнений

[infantier]

Помогите решить, пожалуйста, или подскажите какие-нибудь теоремы на эту тему.

Пусть $i_1 \ge j_1;i_1>i_2>i_3>...>i_m; j_1>j_2>j_3>...>j_p$ и дана система уравнений

$$a_{i_1}^{s_1}a_{i_2}^{s_2}...a_{i_m}^{s_m}-a_{j_1}^{n_1}a_{j_2}^{n_2}...a_{j_p}^{n_p} +1=0 $$

$$a_{i_1+1}^{s_1}a_{i_2+1}^{s_2}...a_{i_m+1}^{s_m}-a_{j_1+1}^{n_1}a_{j_2+1}^{n_2}...a_{j_p+1}^{n_p} +1=0$$

$$a_{i_1+2}^{s_1}a_{i_2+2}^{s_2}...a_{i_m+2}^{s_m}-a_{j_1+2}^{n_1}a_{j_2+2}^{n_2}...a_{j_p+2}^{n_p} +1=0$$

$$..............$$

$$a_{n}^{s_1}a_{i_2+n-i_1}^{s_2}...a_{i_m+n-i_1}^{s_m}-a_{j_1+n-i_1}^{n_1}a_{j_2+n-i_1}^{n_2}...a_{j_p+n-i_1}^{n_p} +1=0 $$

$$\sum_{k=1}^m s_k=\sum_{r=1}^p n_r $$

$$ i_1,i_2,...,i_m,j_1,j_2,...,j_p \in {1,...,n} $$

Доказать, что данная система уравнений имеет решение над алгебраически замкнутым полем.
Имеет ли решение эта система уравнений, если поле не обязательно алгебраически замкнутое?

[maxal]

Правильно ли я понял, что всего уравнений $n-i_1+1$ и, вообще говоря, система не является циклической?

Добавлено спустя 12 минут 40 секунд:

А, впрочем, это неважно.

Пусть

$$d = \sum_{k=1}^m s_k=\sum_{r=1}^p n_r .$$

Будем искать решения вида $a_i=b\cdot c^i$, где $c$ - корень уравнения $c^d = 1,$ который существует в силу алгебраической замкнутости, а $b$ - некоторая константа, которую мы определим позже.

Тогда в силу условия

$$\sum_{k=1}^m s_k=\sum_{r=1}^p n_r $$

все уравнения будут эквивалентны первому и упростятся до вида:

$$b^d \left( c^{\sum i_k\cdot s_k} - c^{\sum j_r\cdot n_r} \right) + 1 = 0,$$

которое имеет решение относительно $b$, коль скоро

$$\sum i_k\cdot s_k \not\equiv \sum j_r\cdot n_r\pmod{d}.$$

Случай $\sum i_k\cdot s_k \equiv \sum j_r\cdot n_r\pmod{d}$ разберите сами.

[infantier]

Извините, пожалуйста, не могли бы Вы написать подробнее, а то я немного не понимаю и разобрать случай, когда равенство по модулю d. Мне действительно это очень важно.Заранее благодарен.

[maxal]

Если $\sum i_k\cdot s_k \equiv \sum j_r\cdot n_r\pmod{d}$, то искать решение можно в виде: $a_i=b\cdot c^{i^2}.$
При этом решение найдется, если $\sum i_k^2\cdot s_k \not\equiv \sum j_r^2\cdot n_r\pmod{d}.$
Если же к тому же $\sum i_k^2\cdot s_k \equiv \sum j_r^2\cdot n_r\pmod{d},$ то нужно искать в виде $a_i=b\cdot c^{i^3}$ и т.д.

Если же окажется, что $\sum i_k^{\ell}\cdot s_k \equiv \sum j_r^{\ell}\cdot n_r\pmod{d}$ для всех натуральных $\ell$, то с необходимостью имеем $m=p$ и равенство наборов $\{i_k\}$, $\{j_r\}$, а также $\{s_k\}$ и $\{s_r\}$, и в этом случае система не имеет решений, так как каждое ее уравнение превращается в $1=0$.

Как-то так.

[infantier]

А как решать, если в этой системе будет не одна однородная компонента степени $d$, а $r$ однородных компонент степени $d_1,d_2,...,d_r$ соответственно и в i-ой однородной компоненте $s_i$ мономов
с коэффициентами равными нулю для любого i, свободный член также равен равен 1.И также как и в первом случае в следующей строке индексы на 1 больше, чем в предыдущей.
Пусть на первом шаге мы записываем второе уравнение системы с индексами на 1 больше, чем в первом уравнении. На k-ом шаге записываем k+1-ое уравнение с индексами на 1 больше, чем
в k-ом уравнении и т.д..
И если на каком-то шаге хотя бы в одном мономе появляется переменная $a_n$, то это последнее уравнение системы.
Имеет ли эта система решение над алгебраически замкнутым полем и вообще нужно ли требовать алгебраическую замкнутость поля или эта система имеет решение над любым полем?

Надеюсь на Вашу помощь.

[maxal]

infantier писал(а):

А как решать, если в этой системе будет не одна однородная компонента степени $d$, а $n$ однородных компонент степени $d_1,d_2,...,d_n$ соответственно и в i-ой однородной компоненте $s_i$ мономов
с коэффициентами равными нулю для любого i, свободный член также равен равен 1.

Как понимать ваше "не одна однородная компонента степени"? В изначальной системе у вас присутствуют две однородных компоненты (а не одна) - разве нет?
По поводу новой системы - выпишите в виде формулы хотя бы одно уравнение из нее, чтобы у нас не было разночтений.

[infantier]

Берём многочлен и в нём мономы степени $d$ и объединяем их в одно слагаемое.Назовём это однородной компонентой степени $d$. В первом случае это

$$a_{i_1+1}^{s_1}a_{i_2+1}^{s_2}...a_{i_m+1}^{s_m}-a_{j_1+1}^{n_1}a_{j_2+1}^{n_2}...a_{j_p+1}^{n_p} $$

.

[infantier]

И ещё я хотел спросить: корень с-в первом случае имеется в виду первообразный?И ещё:а почему равенство наборов в первом случае?

[infantier]

Вот пример такой системы уравнений в общем случае.

$$a_5a_4a_3-a_3a_2a_1+a_4a_2-a_2a_1+a_3-a_2+1=0$$

$$a_6a_5a_4-a_4a_3a_2+a_5a_3-a_3a_2+a_4-a_3+1=0$$

$$......................$$

$$a_na_{n-1}a_{n-2}-a_{n-2}a_{n-3}a_{n-4}+a_{n-1}a_{n-3}-a_{n-3}a_{n-4}+a_{n-2}-a_{n-3}+1=0$$

Доказать, что эта система уравнений имеет решение над алгебраически замкнутым полем.
В этой системе 3 однородных компоненты степени 3,2,1 соответственно.

[Someone]

infantier писал(а):

В этой системе 3 однородных компоненты степени 3,2,1 соответственно.

А не 4 (ещё и 0)?

[infantier]

Считаем, что однородная компонента степени 0 равна нулю.А 1-свободный член.

[Someone]

Хозяин - барин.

[maxal]

infantier писал(а):

И ещё я хотел спросить: корень с-в первом случае имеется в виду первообразный? И ещё:а почему равенство наборов в первом случае?

Корень да, первообразный. О каких наборах речь?

[infantier]

Как хотя бы решить эту систему уравнений с $n-3$ уравнениями над комплексными числами?

$$a_3a_4-a_1a_2+1=0$$

$$a_4a_5-a_2a_3+1=0$$

$$a_5a_6-a_3a_4+1=0$$

$$..........................$$

$$a_{n-1}a_n-a_{n-3}a_{n-2}+1=0$$

[maxal]

infantier писал(а):

Как хотя бы решить эту систему уравнений с $n-3$ уравнениями над комплексными числами?

$$a_3a_4-a_1a_2+1=0$$

$$a_4a_5-a_2a_3+1=0$$

$$a_5a_6-a_3a_4+1=0$$

$$..........................$$

$$a_{n-1}a_n-a_{n-3}a_{n-2}+1=0$$

Решим эту систему рекурсивно, а именно последовательно вычислить значение каждого $a_k$, $k=4, 5,\dots,n$, как отношение двух полиномов от $a_1$, $a_2$ и $a_3$ по формуле:

$$a_k = \frac{a_{k-3}a_{k-2}-1}{a_{k-1}}=\frac{P_k(a_1,a_2,a_3)}{Q_k(a_1,a_2,a_3)},$$

причем по индукции легко доказать, что для $k\geq 5$ выполняется неравенство: $\deg P_k > \deg Q_k = \deg P_{k-1}$. Откуда в частности следует, что никакой $a_k$ не равен тождественно нулю (как функция от $a_1$, $a_2$, $a_3$).

Понятно, что выбрав какие-то числовые значения для $a_1$, $a_2$, $a_3$, мы получим решение тогда и только тогда, когда полином ${\cal P}(a_1,a_2,a_3) = a_3\cdot P_4(a_1,a_2,a_3)\cdot P_5(a_1,a_2,a_3)\cdot \ldots\cdot P_{n-1}(a_1,a_2,a_3)$ не обращается в ноль. Поэтому достаточно выбрать $a_1, a_2, a_3$ так, чтобы они не обращали в ноль ${\cal P}(a_1,a_2,a_3)$, а это для полинома не равного тождественному нулю всегда можно сделать (докажите в качестве несложного упражнения).