2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Система уравнений
Сообщение21.03.2008, 13:32 


07/11/07
43
Помогите решить, пожалуйста, или подскажите какие-нибудь теоремы на эту тему.

Пусть $i_1 \ge j_1;i_1>i_2>i_3>...>i_m; j_1>j_2>j_3>...>j_p$ и дана система уравнений
$$a_{i_1}^{s_1}a_{i_2}^{s_2}...a_{i_m}^{s_m}-a_{j_1}^{n_1}a_{j_2}^{n_2}...a_{j_p}^{n_p} +1=0 $$
$$a_{i_1+1}^{s_1}a_{i_2+1}^{s_2}...a_{i_m+1}^{s_m}-a_{j_1+1}^{n_1}a_{j_2+1}^{n_2}...a_{j_p+1}^{n_p} +1=0$$
$$a_{i_1+2}^{s_1}a_{i_2+2}^{s_2}...a_{i_m+2}^{s_m}-a_{j_1+2}^{n_1}a_{j_2+2}^{n_2}...a_{j_p+2}^{n_p} +1=0$$
$$..............$$
$$a_{n}^{s_1}a_{i_2+n-i_1}^{s_2}...a_{i_m+n-i_1}^{s_m}-a_{j_1+n-i_1}^{n_1}a_{j_2+n-i_1}^{n_2}...a_{j_p+n-i_1}^{n_p} +1=0 $$


$$\sum_{k=1}^m s_k=\sum_{r=1}^p n_r $$
$$ i_1,i_2,...,i_m,j_1,j_2,...,j_p \in {1,...,n} $$

Доказать, что данная система уравнений имеет решение над алгебраически замкнутым полем.
Имеет ли решение эта система уравнений, если поле не обязательно алгебраически замкнутое?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.03.2008, 13:59 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Правильно ли я понял, что всего уравнений $n-i_1+1$ и, вообще говоря, система не является циклической?

Добавлено спустя 12 минут 40 секунд:

А, впрочем, это неважно.

Пусть $$d = \sum_{k=1}^m s_k=\sum_{r=1}^p n_r .$$

Будем искать решения вида $a_i=b\cdot c^i$, где $c$ - корень уравнения $c^d = 1,$ который существует в силу алгебраической замкнутости, а $b$ - некоторая константа, которую мы определим позже.

Тогда в силу условия $$\sum_{k=1}^m s_k=\sum_{r=1}^p n_r $$ все уравнения будут эквивалентны первому и упростятся до вида:

$$b^d \left( c^{\sum i_k\cdot s_k} - c^{\sum j_r\cdot n_r} \right) + 1 = 0,$$

которое имеет решение относительно $b$, коль скоро
$$\sum i_k\cdot s_k \not\equiv \sum j_r\cdot n_r\pmod{d}.$$

Случай $\sum i_k\cdot s_k \equiv \sum j_r\cdot n_r\pmod{d}$ разберите сами.

 Профиль  
                  
 
 система уравнений
Сообщение21.03.2008, 23:04 


07/11/07
43
Извините, пожалуйста, не могли бы Вы написать подробнее, а то я немного не понимаю и разобрать случай, когда равенство по модулю d. Мне действительно это очень важно.Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.03.2008, 23:38 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Если $\sum i_k\cdot s_k \equiv \sum j_r\cdot n_r\pmod{d}$, то искать решение можно в виде: $a_i=b\cdot c^{i^2}.$
При этом решение найдется, если $\sum i_k^2\cdot s_k \not\equiv \sum j_r^2\cdot n_r\pmod{d}.$
Если же к тому же $\sum i_k^2\cdot s_k \equiv \sum j_r^2\cdot n_r\pmod{d},$ то нужно искать в виде $a_i=b\cdot c^{i^3}$ и т.д.

Если же окажется, что $\sum i_k^{\ell}\cdot s_k \equiv \sum j_r^{\ell}\cdot n_r\pmod{d}$ для всех натуральных $\ell$, то с необходимостью имеем $m=p$ и равенство наборов $\{i_k\}$, $\{j_r\}$, а также $\{s_k\}$ и $\{s_r\}$, и в этом случае система не имеет решений, так как каждое ее уравнение превращается в $1=0$.

Как-то так.

 Профиль  
                  
 
 система уравнений
Сообщение22.03.2008, 14:37 


07/11/07
43
А как решать, если в этой системе будет не одна однородная компонента степени $d$, а $r$ однородных компонент степени $d_1,d_2,...,d_r$ соответственно и в i-ой однородной компоненте $s_i$ мономов
с коэффициентами равными нулю для любого i, свободный член также равен равен 1.И также как и в первом случае в следующей строке индексы на 1 больше, чем в предыдущей.
Пусть на первом шаге мы записываем второе уравнение системы с индексами на 1 больше, чем в первом уравнении. На k-ом шаге записываем k+1-ое уравнение с индексами на 1 больше, чем
в k-ом уравнении и т.д..
И если на каком-то шаге хотя бы в одном мономе появляется переменная $a_n$, то это последнее уравнение системы.
Имеет ли эта система решение над алгебраически замкнутым полем и вообще нужно ли требовать алгебраическую замкнутость поля или эта система имеет решение над любым полем?

Надеюсь на Вашу помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: система уравнений
Сообщение23.03.2008, 12:59 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
infantier писал(а):
А как решать, если в этой системе будет не одна однородная компонента степени $d$, а $n$ однородных компонент степени $d_1,d_2,...,d_n$ соответственно и в i-ой однородной компоненте $s_i$ мономов
с коэффициентами равными нулю для любого i, свободный член также равен равен 1.

Как понимать ваше "не одна однородная компонента степени"? В изначальной системе у вас присутствуют две однородных компоненты (а не одна) - разве нет?
По поводу новой системы - выпишите в виде формулы хотя бы одно уравнение из нее, чтобы у нас не было разночтений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2008, 21:28 


07/11/07
43
Берём многочлен и в нём мономы степени $d$ и объединяем их в одно слагаемое.Назовём это однородной компонентой степени $d$. В первом случае это $$a_{i_1+1}^{s_1}a_{i_2+1}^{s_2}...a_{i_m+1}^{s_m}-a_{j_1+1}^{n_1}a_{j_2+1}^{n_2}...a_{j_p+1}^{n_p} $$.

 Профиль  
                  
 
 система уравнений
Сообщение24.03.2008, 17:02 


07/11/07
43
И ещё я хотел спросить: корень с-в первом случае имеется в виду первообразный?И ещё:а почему равенство наборов в первом случае?

 Профиль  
                  
 
 система уравнений
Сообщение24.03.2008, 23:13 


07/11/07
43
Вот пример такой системы уравнений в общем случае.
$$a_5a_4a_3-a_3a_2a_1+a_4a_2-a_2a_1+a_3-a_2+1=0$$
$$a_6a_5a_4-a_4a_3a_2+a_5a_3-a_3a_2+a_4-a_3+1=0$$
$$......................$$
$$a_na_{n-1}a_{n-2}-a_{n-2}a_{n-3}a_{n-4}+a_{n-1}a_{n-3}-a_{n-3}a_{n-4}+a_{n-2}-a_{n-3}+1=0$$
Доказать, что эта система уравнений имеет решение над алгебраически замкнутым полем.
В этой системе 3 однородных компоненты степени 3,2,1 соответственно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2008, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
infantier писал(а):
В этой системе 3 однородных компоненты степени 3,2,1 соответственно.


А не 4 (ещё и 0)?

 Профиль  
                  
 
 система уравнений
Сообщение25.03.2008, 22:26 


07/11/07
43
Считаем, что однородная компонента степени 0 равна нулю.А 1-свободный член.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.03.2008, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Хозяин - барин.

 Профиль  
                  
 
 Re: система уравнений
Сообщение26.03.2008, 16:32 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
infantier писал(а):
И ещё я хотел спросить: корень с-в первом случае имеется в виду первообразный? И ещё:а почему равенство наборов в первом случае?

Корень да, первообразный. О каких наборах речь?

 Профиль  
                  
 
 система уравнений
Сообщение31.03.2008, 22:31 


07/11/07
43
Как хотя бы решить эту систему уравнений с $n-3$ уравнениями над комплексными числами?
$$a_3a_4-a_1a_2+1=0$$
$$a_4a_5-a_2a_3+1=0$$
$$a_5a_6-a_3a_4+1=0$$
$$..........................$$
$$a_{n-1}a_n-a_{n-3}a_{n-2}+1=0$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2008, 07:23 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
infantier писал(а):
Как хотя бы решить эту систему уравнений с $n-3$ уравнениями над комплексными числами?
$$a_3a_4-a_1a_2+1=0$$
$$a_4a_5-a_2a_3+1=0$$
$$a_5a_6-a_3a_4+1=0$$
$$..........................$$
$$a_{n-1}a_n-a_{n-3}a_{n-2}+1=0$$

Решим эту систему рекурсивно, а именно последовательно вычислить значение каждого $a_k$, $k=4, 5,\dots,n$, как отношение двух полиномов от $a_1$, $a_2$ и $a_3$ по формуле:

$$a_k = \frac{a_{k-3}a_{k-2}-1}{a_{k-1}}=\frac{P_k(a_1,a_2,a_3)}{Q_k(a_1,a_2,a_3)},$$

причем по индукции легко доказать, что для $k\geq 5$ выполняется неравенство: $\deg P_k > \deg Q_k = \deg P_{k-1}$. Откуда в частности следует, что никакой $a_k$ не равен тождественно нулю (как функция от $a_1$, $a_2$, $a_3$).

Понятно, что выбрав какие-то числовые значения для $a_1$, $a_2$, $a_3$, мы получим решение тогда и только тогда, когда полином ${\cal P}(a_1,a_2,a_3) = a_3\cdot P_4(a_1,a_2,a_3)\cdot P_5(a_1,a_2,a_3)\cdot \ldots\cdot P_{n-1}(a_1,a_2,a_3)$ не обращается в ноль. Поэтому достаточно выбрать $a_1, a_2, a_3$ так, чтобы они не обращали в ноль ${\cal P}(a_1,a_2,a_3)$, а это для полинома не равного тождественному нулю всегда можно сделать (докажите в качестве несложного упражнения).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group