Об потенциальной энергии сжатой пружины

[misha.physics]

Здравствуйте. Думаю, будет понятно и без рисунков и объяснения каждого из обозначений.

Направим ось $Ox$ вниз. Пусть мы поднимаем тело в поле тяжести Земли с её поверхности ($x=0$). Найдем работу силы тяжести при этом поднятии:

$$A_{0x}=\int\limits_0^x{mgdx}=mgx=U_0-U_x$$

$$U$ - потенциальная энергия. Примем, что на поверхности Земли $U_0=0$$, получаем:

$$U_x=-mgx$$

Но поскольку $x$ отрицательно (мы ось направили вниз), то потенциальная энергия тела на высоте $|x|$ положительна (теперь можно обозначить $(-x)$ через $h$ - высота и получить знакомую формулу). Как и должно быть. Это введение.

Теперь, пусть мы сжимаем вертикальную пружину снизу вверх (нижний конец пружины тащим вверх). Снова направим ось $Ox$ вниз. Пусть положению равновесия соответствует $x=0$ (и потенциальная энергия пружины в этом положении $U_0=0$), тогда работа сил упругости пружины при этом:

$$A_{0x}=\int\limits_0^x{kxdx}=\frac{kx^2}{2}=U_0-U_x$$

$$U_x=-\frac{kx^2}{2}$$

Здесь уже информация о том, что $x$ отрицательно теряется. И получается, что потенциальная энергия отрицательна, а она должна быть положительной. Если мы направим ось $Ox$ вверх, то все будет правильно (энергия положительна, потому что возникает минус при проекции силы упругости на ось $Ox$).

То есть, в случае с силой тяжести самы пределы интегрирования делают знак правильным, в случае же с пружиной, зависимость получается квадратической и она убывает знак. Есть ли здесь у меня ошибка?

Для того чтобы получить правильный результат можно сделать так:

$$A_{0x}=\int\limits_{(1)}^{(2)}{\vec{F}d\vec{r}}=\int\limits_{0}^{|x|}{\vec{i}kx(-\vec{i}dx)}=-\int\limits_0^{|x|}kxdx=-\frac{kx^2}{2}=U_0-U_x$$

$\vec{i}$ - орт в направлении оси $Ox$.

$$U_x=\frac{kx^2}{2}>0$$

Значит получить "правильный" результат первым способом не получится, потому что теряется информация о знаке, да? Поэтому и приходится придумывать таких обходные пути. (Конечно можно направить ось координат вверх и не придумывать себе проблем, но интересно как в этом случае сделать.)

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1335279 писал(а):

Значит получить "правильный" результат первым способом не получится, потому что теряется информация о знаке, да?

А зачем так сложно? Потенциальная энергия - это по определению работа силы при перемещении из интресующего нас положения в положение, потенциальная энергия которого принята за нуль. Именно в эту сторону, а не наоборот.

[Eule_A]

В таком случае сразу вспоминается потенциал поля бесконечной равномерно заряженной нити.

А так - с записью закона Гука просто аккуратным нужно быть - и всё.

[Munin]

Это не "обходной путь", а единственно правильный. Формулу $A=\int F\,dx$ давали как упрощённую, надо было в этом месте внимательней слушать, когда она несправедлива. Правильная формула в этом месте $A=\int F\,\cos\alpha\,dx,$ дающая всегда тот же результат, что и формула на векторном языке (по сути, та же самая) $A=\int\vec{F}\,d\vec{r}.$

[EUgeneUS]

(оффтопик, так как нет содержательного дополнения)

Munin в сообщении #1335301 писал(а):

формула на векторном языке (по сути, та же самая) $A=\int\vec{F}\,d\vec{r}.$

Munin в сообщении #1335301 писал(а):

Это не "обходной путь", а единственно правильный.

[misha.physics]

Pphantom,

Pphantom в сообщении #1335284 писал(а):

А зачем так сложно? Потенциальная энергия - это по определению работа силы при перемещении из интресующего нас положения в положение, потенциальная энергия которого принята за нуль. Именно в эту сторону, а не наоборот.

Да, я фактически, этим определением и пользовался, когда писал $A_{0x}=U_0-U_x$. Это то же самое, что и $A_{x_0}=U_x-U_0=U_x$, поскольку $U_0=0$.

Eule_A,

Eule_A в сообщении #1335286 писал(а):

А так - с записью закона Гука просто аккуратным нужно быть - и всё.

Стараюсь быть аккуратным, проектирую силу на ось.

Munin,

Munin в сообщении #1335301 писал(а):

Формулу $A=\int F\,dx$ давали как упрощённую

Понимаю, это когда сила действует в направлении перемещения. Но я пользовался не этой формулой, а формулой $A=\int F_xdx$, где $F_x$ - проекция силы $\vec{F}$ на ось $Ox$. Но когда я пишу так:

misha.physics в сообщении #1335279 писал(а):

Теперь, пусть мы сжимаем вертикальную пружину снизу вверх (нижний конец пружины тащим вверх). Снова направим ось $Ox$ вниз. Пусть положению равновесия соответствует $x=0$ (и потенциальная энергия пружины в этом положении $U_0=0$), тогда работа сил упругости пружины при этом:

$$A_{0x}=\int\limits_0^x{kxdx}=\frac{kx^2}{2}=U_0-U_x$$

$$U_x=-\frac{kx^2}{2}$$

Я не вижу, в каком месте делаю ошибку (если увижу, то вопрос решится). Ось $Ox$ направленна вниз. Пружину сжимаем перемещая вверх, значит сила упругости направленна вниз, в направлении оси $Ox$. Значит $F_x=kx$. Начальное положение груза $x=0$ (положение равновесия), конечное положение -- $x$, оно отрицательно. Интегрируем по $x$ от $x=0$ до $x$ (отрицательного). В случае с силой тяжести отрицательность $x$ учитывалась, но здесь после интегрирования получается $x^2$.

Получается, что правильный результат можно получить, только если направить ось $Ox$ в направелении перемещения пружины. Тогда проекция силы будет со знаком минус, а пределы интегрирования (от $0$ до $x$) останутся теми же. Но ведь результат не должен зависить от направления координатной оси.

-- 29 авг 2018, 16:33 --

Заметил интересную вещь. Если ось $Ox$ направлена вниз, то мы можем передвигать груз на пружине вверх двумя "способами". Или от $0$ к $x$ (отрицательного), или от $x$ (положительного) к $0$. В обеих случаях проекция силы будет положительна (т. к. тащим груз вверх), но начальные и конечные положения груза меняются местами, значит меняются местами пределы интегрирования. И во втором случае результат получается правильным, а в первом - неправильным.

[Eule_A]

Вот зря чертёж-то не сделали.

misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):

Ось $Ox$ направленна вниз. Пружину сжимаем перемещая вверх, значит сила упругости направленна вниз, в направлении оси $Ox$. Значит $F_x=kx$.

Сами пишете, что $x$ отрицательно, говорите, что $F_x=kx$, но сила направлена вниз, ось - тоже вниз. Всё нормально?

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):

формулой $A=\int F_xdx$, где $F_x$ - проекция силы $\vec{F}$ на ось $Ox$.

misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):

$$A_{0x}=\int\limits_0^x{kxdx}=\frac{kx^2}{2}=U_0-U_x$$

Хорошо, Вы пишите скалярное произведение в координатах (в проекциях на ось $Ox$).
И говорите, что

misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):

Пусть положению равновесия соответствует $x=0$

А потом тупо (сорри, за мой французкий) приравниваете: $F_x = kx$. Но если писать аккуратно проекции, то $F_x = -kx$, так как для пружинки сила всегда против перемещения (относительно положения равновесия). Собственно этот минус и получается из $\cos \alpha$, который получается из скалярного произведения.

[misha.physics]

Eule_A,

Eule_A в сообщении #1335313 писал(а):

Сами пишете, что $x$ отрицательно, говорите, что $F_x=kx$, но сила направлена вниз, ось - тоже вниз. Всё нормально?

Спасибо большое, я все понял!

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):

Да, я фактически, этим определением и пользовался,

Да, только Вы при этом каждый раз держите в голове, что "тут минус нужен, там не нужен..." и в итоге начинаете в этих минусах путаться. Хотя лучше сразу писать пределы интегрирования правильно и сразу же учитывать, что для одномерного случая закон Гука имеет вид $F=- k x$, где $k>0$, всегда - при любой ориентации оси и отклонении от положения равновесия $x=0$ в любую сторону.

[misha.physics]

EUgeneUS,

EUgeneUS в сообщении #1335315 писал(а):

А потом тупо (сорри, за мой французкий) приравниваете: $F_x = kx$. Но если писать аккуратно проекции, то $F_x = -kx$, так как для пружинки сила всегда против перемещения (относительно положения равновесия). Собственно этот минус и получается из $\cos \alpha$, который получается из скалярного произведения.

Спасибо, я понял. Я обрадовался, что сила упругости направлена в сторону оси $Ox$, но когда писал закон Гука, то не учел знак $x$, знак минус.

-- 29 авг 2018, 16:46 --

Pphantom,

Pphantom в сообщении #1335319 писал(а):

Да, только Вы при этом каждый раз держите в голове, что "тут минус нужен, там не нужен..." и в итоге начинаете в этих минусах путаться.

Да, именно так, путался.

Pphantom в сообщении #1335319 писал(а):

Хотя лучше сразу писать пределы интегрирования правильно и сразу же учитывать, что для одномерного случая закон Гука имеет вид $F=- k x$, где $k>0$, всегда - при любой ориентации оси и отклонении от положения равновесия $x=0$ в любую сторону.

Вот этого мне не хватало! Что всегда и при любой ориентации оси. Проверю это во всевозможных ориентациях оси и перемещениях пружины и постараюсь принять это и запомнить :) Спасибо большое за помощь.

Всем спасибо, действительно понял.

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1335320 писал(а):

но когда писал закон Гука, то не учел знак $x$, знак минус.

Ага. Но всё все таки обратите внимание, что скалярное произведение - это, так сказать, общий случай. А когда у Вас всё волшебным образом уложилось вдоль одной оси и нужно выбрать правильно знаки "туда или обратно" - частный.

[misha.physics]

EUgeneUS,

EUgeneUS в сообщении #1335322 писал(а):

Но всё все таки обратите внимание, что скалярное произведение - это, так сказать, общий случай.

Да, понимаю.

-- 29 авг 2018, 17:10 --

Кстати, отличие потенциальной энергии пружины от потенциальной энергии тяготеющего тела в том, что в первом случае сила зависит от координаты и нужно быть особенно внимательным со знаком, в случае же тяжести сила постоянна и правильный знак сразу же дают пределы интегрирования.

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1335330 писал(а):

Кстати, отличие потенциальной энергии пружины от потенциальной энергии тяготеющего тела в том, что в первом случае сила зависит от координаты и нужно быть особенно внимательным со знаком, в случае же тяжести сила постоянна и правильный знак сразу же дают пределы интегрирования.

Нет же. Правильный знак и в случае силы тяжести Вам даёт скалярное произведение силы на элементарное перемещение.
А пределы интегрирования определяют откуда и куда тело перемещается.

[Eule_A]

misha.physics в сообщении #1335279 писал(а):

Примем, что на поверхности Земли $U_0=0$, получаем:

$$U_x=-mgx$$

Кстати, раз уж о скалярных произведениях заговорили, то и в этом случае есть запись получше:

$$U=-m(\vec{g},\vec{r})\Rightarrow \vec{F}=-\operatorname{grad} U=m\operatorname{grad}(\vec{g},\vec{r})=m\vec{g}.$$

И проецируйте после этого куда хотите.