2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 16:03 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Здравствуйте. Думаю, будет понятно и без рисунков и объяснения каждого из обозначений.

Направим ось $Ox$ вниз. Пусть мы поднимаем тело в поле тяжести Земли с её поверхности ($x=0$). Найдем работу силы тяжести при этом поднятии:
$$A_{0x}=\int\limits_0^x{mgdx}=mgx=U_0-U_x$$
$$U$ - потенциальная энергия. Примем, что на поверхности Земли $U_0=0$$, получаем:
$$U_x=-mgx$$
Но поскольку $x$ отрицательно (мы ось направили вниз), то потенциальная энергия тела на высоте $|x|$ положительна (теперь можно обозначить $(-x)$ через $h$ - высота и получить знакомую формулу). Как и должно быть. Это введение.

Теперь, пусть мы сжимаем вертикальную пружину снизу вверх (нижний конец пружины тащим вверх). Снова направим ось $Ox$ вниз. Пусть положению равновесия соответствует $x=0$ (и потенциальная энергия пружины в этом положении $U_0=0$), тогда работа сил упругости пружины при этом:
$$A_{0x}=\int\limits_0^x{kxdx}=\frac{kx^2}{2}=U_0-U_x$$
$$U_x=-\frac{kx^2}{2}$$
Здесь уже информация о том, что $x$ отрицательно теряется. И получается, что потенциальная энергия отрицательна, а она должна быть положительной. Если мы направим ось $Ox$ вверх, то все будет правильно (энергия положительна, потому что возникает минус при проекции силы упругости на ось $Ox$).

То есть, в случае с силой тяжести самы пределы интегрирования делают знак правильным, в случае же с пружиной, зависимость получается квадратической и она убывает знак. Есть ли здесь у меня ошибка?

Для того чтобы получить правильный результат можно сделать так:
$$A_{0x}=\int\limits_{(1)}^{(2)}{\vec{F}d\vec{r}}=\int\limits_{0}^{|x|}{\vec{i}kx(-\vec{i}dx)}=-\int\limits_0^{|x|}kxdx=-\frac{kx^2}{2}=U_0-U_x$$
$\vec{i}$ - орт в направлении оси $Ox$.
$$U_x=\frac{kx^2}{2}>0$$

Значит получить "правильный" результат первым способом не получится, потому что теряется информация о знаке, да? Поэтому и приходится придумывать таких обходные пути. (Конечно можно направить ось координат вверх и не придумывать себе проблем, но интересно как в этом случае сделать.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 16:28 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
misha.physics в сообщении #1335279 писал(а):
Значит получить "правильный" результат первым способом не получится, потому что теряется информация о знаке, да?
А зачем так сложно? Потенциальная энергия - это по определению работа силы при перемещении из интресующего нас положения в положение, потенциальная энергия которого принята за нуль. Именно в эту сторону, а не наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 16:33 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
В таком случае сразу вспоминается потенциал поля бесконечной равномерно заряженной нити.

А так - с записью закона Гука просто аккуратным нужно быть - и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это не "обходной путь", а единственно правильный. Формулу $A=\int F\,dx$ давали как упрощённую, надо было в этом месте внимательней слушать, когда она несправедлива. Правильная формула в этом месте $A=\int F\,\cos\alpha\,dx,$ дающая всегда тот же результат, что и формула на векторном языке (по сути, та же самая) $A=\int\vec{F}\,d\vec{r}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 17:04 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н

(оффтопик, так как нет содержательного дополнения)

Munin в сообщении #1335301 писал(а):
формула на векторном языке (по сути, та же самая) $A=\int\vec{F}\,d\vec{r}.$

Munin в сообщении #1335301 писал(а):
Это не "обходной путь", а единственно правильный.

:appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 17:28 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Pphantom,
Pphantom в сообщении #1335284 писал(а):
А зачем так сложно? Потенциальная энергия - это по определению работа силы при перемещении из интресующего нас положения в положение, потенциальная энергия которого принята за нуль. Именно в эту сторону, а не наоборот.

Да, я фактически, этим определением и пользовался, когда писал $A_{0x}=U_0-U_x$. Это то же самое, что и $A_{x_0}=U_x-U_0=U_x$, поскольку $U_0=0$.

Eule_A,
Eule_A в сообщении #1335286 писал(а):
А так - с записью закона Гука просто аккуратным нужно быть - и всё.

Стараюсь быть аккуратным, проектирую силу на ось.

Munin,
Munin в сообщении #1335301 писал(а):
Формулу $A=\int F\,dx$ давали как упрощённую

Понимаю, это когда сила действует в направлении перемещения. Но я пользовался не этой формулой, а формулой $A=\int F_xdx$, где $F_x$ - проекция силы $\vec{F}$ на ось $Ox$. Но когда я пишу так:
misha.physics в сообщении #1335279 писал(а):
Теперь, пусть мы сжимаем вертикальную пружину снизу вверх (нижний конец пружины тащим вверх). Снова направим ось $Ox$ вниз. Пусть положению равновесия соответствует $x=0$ (и потенциальная энергия пружины в этом положении $U_0=0$), тогда работа сил упругости пружины при этом:
$$A_{0x}=\int\limits_0^x{kxdx}=\frac{kx^2}{2}=U_0-U_x$$
$$U_x=-\frac{kx^2}{2}$$

Я не вижу, в каком месте делаю ошибку (если увижу, то вопрос решится). Ось $Ox$ направленна вниз. Пружину сжимаем перемещая вверх, значит сила упругости направленна вниз, в направлении оси $Ox$. Значит $F_x=kx$. Начальное положение груза $x=0$ (положение равновесия), конечное положение -- $x$, оно отрицательно. Интегрируем по $x$ от $x=0$ до $x$ (отрицательного). В случае с силой тяжести отрицательность $x$ учитывалась, но здесь после интегрирования получается $x^2$.

Получается, что правильный результат можно получить, только если направить ось $Ox$ в направелении перемещения пружины. Тогда проекция силы будет со знаком минус, а пределы интегрирования (от $0$ до $x$) останутся теми же. Но ведь результат не должен зависить от направления координатной оси.

-- 29 авг 2018, 16:33 --

Заметил интересную вещь. Если ось $Ox$ направлена вниз, то мы можем передвигать груз на пружине вверх двумя "способами". Или от $0$ к $x$ (отрицательного), или от $x$ (положительного) к $0$. В обеих случаях проекция силы будет положительна (т. к. тащим груз вверх), но начальные и конечные положения груза меняются местами, значит меняются местами пределы интегрирования. И во втором случае результат получается правильным, а в первом - неправильным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 17:33 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Вот зря чертёж-то не сделали.
misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):
Ось $Ox$ направленна вниз. Пружину сжимаем перемещая вверх, значит сила упругости направленна вниз, в направлении оси $Ox$. Значит $F_x=kx$.

Сами пишете, что $x$ отрицательно, говорите, что $F_x=kx$, но сила направлена вниз, ось - тоже вниз. Всё нормально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 17:37 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):
формулой $A=\int F_xdx$, где $F_x$ - проекция силы $\vec{F}$ на ось $Ox$.


misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):
$$A_{0x}=\int\limits_0^x{kxdx}=\frac{kx^2}{2}=U_0-U_x$$


Хорошо, Вы пишите скалярное произведение в координатах (в проекциях на ось $Ox$).
И говорите, что
misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):
Пусть положению равновесия соответствует $x=0$


А потом тупо (сорри, за мой французкий) приравниваете: $F_x = kx$. Но если писать аккуратно проекции, то $F_x = -kx$, так как для пружинки сила всегда против перемещения (относительно положения равновесия). Собственно этот минус и получается из $\cos \alpha$, который получается из скалярного произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 17:38 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Eule_A,
Eule_A в сообщении #1335313 писал(а):
Сами пишете, что $x$ отрицательно, говорите, что $F_x=kx$, но сила направлена вниз, ось - тоже вниз. Всё нормально?

Спасибо большое, я все понял! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 17:40 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
misha.physics в сообщении #1335310 писал(а):
Да, я фактически, этим определением и пользовался,
Да, только Вы при этом каждый раз держите в голове, что "тут минус нужен, там не нужен..." и в итоге начинаете в этих минусах путаться. Хотя лучше сразу писать пределы интегрирования правильно и сразу же учитывать, что для одномерного случая закон Гука имеет вид $F=- k x$, где $k>0$, всегда - при любой ориентации оси и отклонении от положения равновесия $x=0$ в любую сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 17:41 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
EUgeneUS,
EUgeneUS в сообщении #1335315 писал(а):
А потом тупо (сорри, за мой французкий) приравниваете: $F_x = kx$. Но если писать аккуратно проекции, то $F_x = -kx$, так как для пружинки сила всегда против перемещения (относительно положения равновесия). Собственно этот минус и получается из $\cos \alpha$, который получается из скалярного произведения.

Спасибо, я понял. Я обрадовался, что сила упругости направлена в сторону оси $Ox$, но когда писал закон Гука, то не учел знак $x$, знак минус.

-- 29 авг 2018, 16:46 --

Pphantom,
Pphantom в сообщении #1335319 писал(а):
Да, только Вы при этом каждый раз держите в голове, что "тут минус нужен, там не нужен..." и в итоге начинаете в этих минусах путаться.

Да, именно так, путался.
Pphantom в сообщении #1335319 писал(а):
Хотя лучше сразу писать пределы интегрирования правильно и сразу же учитывать, что для одномерного случая закон Гука имеет вид $F=- k x$, где $k>0$, всегда - при любой ориентации оси и отклонении от положения равновесия $x=0$ в любую сторону.

Вот этого мне не хватало! Что всегда и при любой ориентации оси. Проверю это во всевозможных ориентациях оси и перемещениях пружины и постараюсь принять это и запомнить :) Спасибо большое за помощь.

Всем спасибо, действительно понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 17:46 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
misha.physics в сообщении #1335320 писал(а):
но когда писал закон Гука, то не учел знак $x$, знак минус.


Ага. Но всё все таки обратите внимание, что скалярное произведение - это, так сказать, общий случай. А когда у Вас всё волшебным образом уложилось вдоль одной оси и нужно выбрать правильно знаки "туда или обратно" - частный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 18:06 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
EUgeneUS,
EUgeneUS в сообщении #1335322 писал(а):
Но всё все таки обратите внимание, что скалярное произведение - это, так сказать, общий случай.

Да, понимаю.

-- 29 авг 2018, 17:10 --

Кстати, отличие потенциальной энергии пружины от потенциальной энергии тяготеющего тела в том, что в первом случае сила зависит от координаты и нужно быть особенно внимательным со знаком, в случае же тяжести сила постоянна и правильный знак сразу же дают пределы интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 18:18 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
misha.physics в сообщении #1335330 писал(а):
Кстати, отличие потенциальной энергии пружины от потенциальной энергии тяготеющего тела в том, что в первом случае сила зависит от координаты и нужно быть особенно внимательным со знаком, в случае же тяжести сила постоянна и правильный знак сразу же дают пределы интегрирования.


Нет же. Правильный знак и в случае силы тяжести Вам даёт скалярное произведение силы на элементарное перемещение.
А пределы интегрирования определяют откуда и куда тело перемещается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об потенциальной энергии сжатой пружины
Сообщение29.08.2018, 18:18 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
misha.physics в сообщении #1335279 писал(а):
Примем, что на поверхности Земли $U_0=0$, получаем:
$$U_x=-mgx$$

Кстати, раз уж о скалярных произведениях заговорили, то и в этом случае есть запись получше:
$$U=-m(\vec{g},\vec{r})\Rightarrow \vec{F}=-\operatorname{grad} U=m\operatorname{grad}(\vec{g},\vec{r})=m\vec{g}.$$
И проецируйте после этого куда хотите.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group