Интеграл от произведения функций бесселя, x и экспоненты

[Physman]

Здравствуйте! Подскажите, кто знает, как считается интеграл:

$f(r,R,z)=\int_0^{\infty}J_0(q\cdot r)J_1(q\cdot R)\mathrm{e}^{-q|z|}qdq$,

где $J_i$ - функции Бесселя.

Если пробовать разложить в ряд каждую из функций Бесселя и экспоненту, получается интеграл $\sim\int_0^{\infty}q^{2n+2m+l+2}$, который расходится. Видимо, так пробовать бесполезно.

Есть ли какой-нибудь метод посчитать численно (в Mathematica)? Какие тогда записывать Assumptions?

[Vince Diesel]

Численно можно, конечно. С любой точностью. А опция Assumptions в этом случае не нужна, свободных параметров в интеграле не должно быть:

f[r_, R_, z_] := NIntegrate[...]

[ex-math]

А если разложить только функции Бесселя и свести интеграл к гамма-функции?

[Physman]

Vince Diesel в сообщении #1335224 писал(а):

Численно можно, конечно. С любой точностью.

А как контролировать эту точность? Если считать, как вы предложили (просто забив функцию в NIntegrate), вот что выходит:


При этом качественно ожидается скорее такое поведение (на графике по оси абсцисс $r$, я описался):


-- 29.08.2018, 10:28 --

ex-math в сообщении #1335236 писал(а):

А если разложить только функции Бесселя и свести интеграл к гамма-функции?

Хотелось бы больше подробностей...

[Vince Diesel]

Physman в сообщении #1335246 писал(а):

А как контролировать эту точность?

Например, опцией WorkingPrecision -> 20. А оценить точность этого вычисления можно, поставив WorkingPrecision -> 40 и вычитая один результат из другого. А поскольку при вычислениях с 40 знаками точность должна быть выше, чем при 20, то разность и будет погрешностью вычислений с 20 знаками. Точно так же вычитая результат с машинной точностью из результата с 40 знаками, можно получить погрешность вычислений с машинной точностью.

Если не выходит, приведите на всякий случай свой код функции с NIntegrate.

[amon]

Physman в сообщении #1335210 писал(а):

Здравствуйте! Подскажите, кто знает, как считается интеграл:$f(r,R,z)=\int_0^{\infty}J_0(q\cdot r)J_1(q\cdot R)\mathrm{e}^{-q|z|}qdq$,

Подсказываю. Лезете в справочник Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Т.2 Интегралы и ряды. Специальные функции [2е изд., ФМЛ, 2003] и находите там на стр. 195 Ваш интеграл. Он через эллиптические интегралы выражается.

[ex-math]

Physman
Все как Вы делали, только экспоненту не трогать. Получатся интегралы от экспоненты, умноженной на степень -- это гамма-функция, которая в Вашем случае будет попросту факториалом. Получите двойной ряд, если повезет он хорошо будет сходиться и будет удобен для вычислений.

[Physman]

Математики, извиняйте физика !

1) Способ от Vince Diesel:

Vince Diesel в сообщении #1335257 писал(а):

Например, опцией WorkingPrecision -> 20... Если не выходит, приведите на всякий случай свой код функции с NIntegrate.

Спасибо. Дело в том, что мне надо было нормировать переменные и вставлять туда числа без префакторов типа $10^{-6}$. Математика не любит численно работать с маленькими числами. Теперь всё считается:



Код:

B[r_, z_, R_] := 
  NIntegrate[
   BesselJ[0, q*r]*BesselJ[1, q*R]*Exp[-q*Abs[z]] q, {q, 
    0, \[Infinity]}]

Так, этот метод сработал.

2) Способ от ex-math:

ex-math в сообщении #1335263 писал(а):

Все как Вы делали, только экспоненту не трогать. Получатся интегралы от экспоненты, умноженной на степень -- это гамма-функция, которая в Вашем случае будет попросту факториалом. Получите двойной ряд, если повезет он хорошо будет сходиться и будет удобен для вычислений.

Спасибо за предложение. Действительно, получается ряд:

$\sum_{k,m=0}^{\infty}(-1)^{k+m}(\frac{r}{2z})^{2k}(\frac{R}{2z})^{2m}\frac{(2m+2k+2)!}{(k!)^2(m!)^2(m+1)}$.

Что дальше с ним делать - пока не знаю. (В таком виде Mathematica его строить не хочет.) Есть идеи?

3) Способ от amon:

amon в сообщении #1335261 писал(а):

Подсказываю. Лезете в справочник Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Т.2 Интегралы и ряды. Специальные функции [2е изд., ФМЛ, 2003] и находите там на стр. 195 Ваш интеграл. Он через эллиптические интегралы выражается.

Спасибо за книжку. После выкладок по предложенной там формуле, у меня получилось выражение:

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2+2k)!}{(k!)^2}\cdot {_2}F_1[-k,-k,2,\frac{R^2}{r^2}](-\frac{r^2}{4z^2})$.

Гипергеометрическая функция ${_2}F_1$ определена внутри $\frac{R^2}{r^2}<1$, а это только один из интервалов. Мне интересно и поведение системы при $\frac{R^2}{r^2}>1$, а там надо, видимо, аналитическое продолжение искать. Не знаю, как продолжить.

Можно воспользоваться и их формулой данной ниже для частного случая - последняя формула на с 194. Но там вводится формула для специальной функции $F_2$, определение на с 640, и там двойной ряд тоже. И Математика такой функции не знает. А вот функция Аппеля $F_1$ в Математике есть - можно будет попробовать посчитать (Это формула на с 195 на самом ферху).

[amon]

Physman в сообщении #1335476 писал(а):

После выкладок по предложенной там формуле, у меня получилось выражение: ...

Чего-то я тогда не понял. Что Вы считаете? Для Вашего интеграла $f(r,R,z)=\int_0^{\infty}J_0(q\cdot r)J_1(q\cdot R)\mathrm{e}^{-q|z|}qdq$ там есть явный короткий ответ без всяких рядов ($A^2_{1,0}$ в обозначениях авторов).

[Physman]

Пардон, не углядел! Действительно, в результате использования короткого ответа для $A_{1,0}^2$ получается следующая формула:

B[r_, z_, R_] := 
  kk[r, z, R]/(
   8 \[Pi] R^(5./2.) r^(
    3./2.) (1 - 
      kk[r, z, R]^2))*(kk[r, z, 
       R]^2 (R^2 - r^2 - z^2) EllipticE[\[Pi]/2, kk[r, z, R]^2] + 
     4*r*R*(1 - kk[r, z, R]^2) EllipticF[\[Pi]/2, kk[r, z, R]^2]);
Plot[{Bdxdy[a, 0.1, 1.0]}, {a, -2, 2}, PlotStyle -> {Red}, 
 PlotStyle -> {Thick}, PlotRange -> Full, 
 AxesLabel -> {"r (\[Mu]m)", "B (arb. units)"}]

где

kk[r_, z_, R_] := Sqrt[(4 r R)/(z^2 + (r + R)^2)] 

В результате получаем:


Спасибо!

[novichok2018]

Спецфункции forever!

[Physman]

Вот в этой теме обсуждается физика, лежащая за интегралом, который обсуждается в данной теме:

topic129241.html

У нас там возникла небольшая загвоздка в вычислениях, вдруг у кого-то "есть мнение".