Чтобы не делились на 100

[Ktina]

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди натуральных чисел, не превосходящих 100, так, чтобы ни сумма, ни произведение никаких двух различных выбранных чисел не делились на 100?

[rockclimber]

Все числа от $1$ до $50$ (или от $50$ до $99$), минус кратные $4$, $10$ и $25$, но из кратных можно оставить два - либо кратные $4$ и $10$, либо $10$ и $25$.

[kotenok gav]

Там не может быть таких пар:
1 100
2 50
4 25
5 20
1 99
2 98
3 97
...
49 51
Ответ: числа 100 и 99, 98 и 50, 97, 25 и 96, 5 и 80, 94, 93, 92, 91...51.
Кол-во $9+91-50=50$.

-- 27 авг 2018, 17:33 --

rockclimber, у вас меньше.

[rockclimber]

Не, не так. Оставить одно кратное $10$, и убрать два, кратных $25$.

[kotenok gav]

Мои числа в порядке возрастания:
4
5
50...94
97...100

-- 27 авг 2018, 17:37 --

Была ошибка, исправил.

-- 27 авг 2018, 17:38 --

Не, не исправил.

[waxtep]

Можно еще так:
1. Не будем брать $100$ и $50$ по понятным причинам;
2. Среди оставшихся, вычтем $100$ из тех, что больше $50$; получим исходную задачу для чисел $\pm1,\pm2,\ldots,\pm49$;
3. Что то же самое, что для чисел $1,2,\ldots,49$;
4. Из них можно взять все, кроме $25$ и, например, $20,30,40$, т.е. итого $45$ чисел.