Псевдослучайность цифр в степенях целых

[fractalon]

Заметил вдруг из экспериментов на компьютере, что цифры, находящиеся посередине больших степеней маленького числа. распределены очень случайно.
Формально: пусть для числа $r$, имеющего в $m$-ричной системе счисления $n$ знаков, $A_{m,[\alpha;b],k}(r)$ означает среднее значение цифр, стоящих в $r$ на позициях с номерами $\left\lfloor{\alpha n}\right\rfloor, \left\lfloor{\alpha n}\right\rfloor + k, \left\lfloor{\alpha n}\right\rfloor + 2k, \dots, \left\lceil{\beta n}\right\rceil$. Тогда для $a$ такого, что $\frac{\log a}{\log m} \not \in {\mathbb Q}$, и любого $\varepsilon > 0$ существует лишь конечное количество значений $n>0$, для которых $|A_{m,[\alpha;b],k}(a^n) - \frac{m-1}{2}| < \varepsilon$
При этом в числах $2^n$ количество различных чисел стремится к одинаковости (максимальный коэффициент Фурье от функции, соответствующей количеству разных чисел, стремится к нулю).
Не могу понять, имеет ли место стремление к совсем равномерному распределению у цифры на отдельной конкретной позиции $\left\lfloor{\alpha n}\right\rfloor$ для $\alpha \in (0;1)$, но там тоже для десятиричной, например, системы частота той или иной цифры за границы $[0.07;0.13]$ не выходит, и эти границы сужаются с ростом макисмального рассматриваемого $n$. Так что такое поведение средних значений должно быть вызвано не перевесом каких-то цифр, а именно всеобщей случайностью.

Есть ли какие-то математические исследования на этот счёт?

[maxal]

Средние цифры степеней (обычно квадратов) традиционно используются при генерации псевдослучайных последовательностей -- см., например, Ранние подходы к формированию ПСЧ в Википедии