Убывание преобразования Фурье

[Asalex]

Здравствуйте форумчане!

1) Вопрос: какое минимальное требование на функцию $f(y)$ , при котором преобразование Фурье

$$F(k)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{iky}dy$$

убывает при $k\tends\pm\infty$ как $\mathcal{O}(1/k)?$

2) Например, по лемме Римана, если $f\in L(\mathbb{R}), $ то убывание $F(k)$ всего лишь как $_\mathcal{O}(1).$

3) Если $f, f'\in L(\mathbb{R})$ и $f$ кусочно непрерывно дифференцируема и ограниченной вариации, то можем воспользоваться интегрированием по частям,

$$F(k)=\frac{f(y)e^{iky}}{ik}\Big|\limits_{-\infty}^{\infty}-\frac{1}{ik}\int\limits_{\mathbb{R}}f'(y)e^{iky}dy,$$

где первое слагаемое означает вариацию.

3) Куда это можно обобщить? Например на $f(x)=\int\limits_{-\infty}^xd\mu(y),$
где $d\mu(x)$ мера Радона,

$$F(k)=-\frac{1}{ik}\int\limits_{\mathbb{R}}e^{iky}d\mu(y).$$

Какой наиболее общий случай? Если $f(x)$ обобщенная функция на пространстве функций Шварца?

[Asalex]

В общем, наиболее общий случай который я нашел, это

$$f(x) = \int\limits_{a}^x d\mu(x), \quad x\in[a,b],\qquad F(k) = \int\limits_{a}^b f(x)e^{i k x} dx,$$

где $d\mu(x)$ это (знакопеременная) мера Радона, то есть разность двух (неотрицательных) обычных мер. Тогда можем представить $f(x)$ (с точностью до множества Лебеговой меры 0) в виде суммы абсолютно непрерывной функции, и функции скачка:

$$f(x) = f_{ac}(x)+f_{sing}(x) = \int\limits_{a}^x \nu(x)d x + \sum\limits_{x_j\leq x}\alpha_j \chi_{[a, x_j)}(x),$$

где

$$\nu(x)\equiv \mu'(x)\in L^1([a,b]),\quad \sum\limits_{j}|a_j|<\infty,\quad \chi_{[a, y)}(x)=\begin{cases}1, x\leq y,\\ 0, x>y.\end{cases}$$

и $\left\{x_j\right\}$\subset[a,b] - не более чем счетное множество.
Тогда

$$F(k)=\int\limits_{a}^{b}f(y) e^{i k y} d y = \int\limits_{a}^{b}f_{ac}(y) e^{i k y} d y + \sum_{j}\alpha_j\int\limits_{a}^{x_j} e^{i k y} d y=$$ $$ =\frac{f_{ac}(y)e^{i k y}}{i k}\Big|_a^b-\frac{1}{i k}\int\limits_{a}^{b}\nu(y) e^{i k y} d y + \sum_{j}\frac{\alpha_j}{i k} e^{i k y}\Big|_{a}^{x_j}=\mathcal{O}(k^{-1}).$$