Поляризация электромагнитного пучка

[fronnya]

Место действия: изотропная однородная среда. Меня интересует, как правильно задавать начальную поляризацию электромагнитного пучка. Решаем мы уравнение Гельмгольца вот такое: $\Delta \mathbf{E}(\mathbf{r})+k_0^2\mathbf{E}(\mathbf{r})=0$. Записывать поле в виде $\mathbf{E}(\mathbf{r})=\psi(\mathbf{r})\mathbf{n}$, где $\mathbf{n}$ задает поляризацию, не стоит, потому что согласно закону Гаусса на функцию $\psi(\mathbf{r})$ будет наложено ещё одно условие $\nabla\cdot[\psi(\mathbf{r})\mathbf{n}]=0$, иначе поле попросту не будет удовлетворять уравнениям Максвелла. Из этой ситуации есть выход. Вместо того, чтобы таким образом задавать электрическое поле, можно искать решение в таком виде для векторного потенциала: $\mathbf{A}=\psi(x,y,z)\mathbf{n}$. Вопрос тогда возникает такой: какую поляризацию будет иметь пучок, если мы от этой записи перейдем к векторам поля, т.е. $\mathbf{H}=\nabla\times\mathbf{A}$, $-i\omega\mathbf{E}=\nabla\times\mathbf{H}$ ? Т.е. как я должен задать поляризацию векторного потенциала, чтобы пучок имел именно ту поляризацию, которая мне нужна?

[Munin]

Легко заметить, что

$$\mathbf{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi\qquad\qquad\Bigl(\textit{в поганой СИ}\quad\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi\quad\Bigr).$$

Отсюда понятно, что в плоско-поляризованной волне векторы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{E}$ сонаправлены, и только сдвинуты по фазе на четверть периода. Круговую поляризацию можно рассмотреть как суперпозицию линейных.

[fronnya]

Munin в сообщении #1333237 писал(а):

Легко заметить, что

$$\mathbf{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi\qquad\qquad\Bigl(\textit{в поганой СИ}\quad\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi\quad\Bigr).$$

Отсюда понятно, что в плоско-поляризованной волне векторы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{E}$ сонаправлены, и только сдвинуты по фазе на четверть периода. Круговую поляризацию можно рассмотреть как суперпозицию линейных.

Спасибо! Что-то я на магнитном поле зациклился, из ротора сложно что-то понять. А что ж вы так негодуете по поводу СИ?) Для прикладной электродинамики ведь вполне годится, а это как раз она. Вообще, я и сам обычно в СГС работаю.

[Munin]

По привычке :-) Возьмёшь какую-нибудь формулу списать, бац - а она в СИ. Особенно если поздно заметишь там какое-нибудь мю нулевое. По делу практически всё по этому поводу сказал Окунь.

[amon]

fronnya в сообщении #1333222 писал(а):

Т.е. как я должен задать поляризацию векторного потенциала, чтобы пучок имел именно ту поляризацию, которая мне нужна?

По размышлению решил внести некоторые дополнения. Дело в том, что ответ на Ваш вопрос зависит от выбора калибровки потенциала. Ответ уважаемого Munin'а соответствует выбору калибровки $\varphi=0.$ В этом случае

$$\mathbf{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$$

и поляризации $\mathbf{E}$ и $\mathbf{A}$ совпадают. В произвольной калибровке даже с уравнениями для потенциалов не все ладно. Уравнения для $\mathbf{A}$ и $\varphi$ не разделяются:
\begin{align*} \square\varphi-\frac{1}{c}\partial_t(\operatorname{div}\mathbf{A}+\frac{1}{c}\partial_t\varphi)&=4\pi\rho\\ \square\mathbf{A}+\nabla(\operatorname{div}\mathbf{A}+\frac{1}{c}\partial_t\varphi)&=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j} \end{align*}
Дальнейшее зависит от выбора калибровки. В калибровке Лоренца $\operatorname{div}\mathbf{A}+\frac{1}{c}\partial_t\varphi=0$ уравнения разделятся, и (в отсутствии источников) каждый потенциал по-отдельности удовлетворяет волновому уравнению. Как при этом будут связаны "поляризации" потенциалов и поля $\mathbf{E}$ я чего-то быстро не соображу.

[Munin]

Да, я как-то поспешно ответил.

Предлагаю смотреть не на волновое уравнение, а сразу на решение в виде плоской волны. Всё равно ведь для произвольного решения волнового уравнения мы о поляризации говорить как-то не очень можем :-)