Ох уж эти матрицы

[Alexiii]

Дана квадратная матрица A. Посчитаем,что $sinA=A-\frac{A^3}{3!}+\frac{A^5}{5!}-\frac{A^7}{7!}+\frac{A^9}{9!}-...$
Доказать,что если А матрица симметричная,то все ее элементы находятся в сегменте [-1;1].
Показать,что будет,если матрица не симметричная.

[Brukvalub]

Alexiii писал(а):

Доказать,что если А матрица симметричная,то все ее элементы находятся в сегменте [-1;1].

Жесть

[AD]

В приведенной Brukvalubом цитате: "ее" --- матрицы или ее синуса?

[Alexiii]

AD писал(а):

В приведенной Brukvalubом цитате: "ее" --- матрицы или ее синуса?

матрицы

[AD]

а зачем вы тогда вообще синус упомянули?Да и не верно это тогда будет

[maxal]

Но тогда бред получается. По условию матрица $A$ дана и над ее элементами нет никакого контроля. Скажем, если в ней был элемент 10, то показать, что все ее элементы лежат в $[-1,1]$ никак не получится.

Может быть, речь все-таки про элементы $\sin A$ идет? Тогда нужно привести $A$ к жордановой форме - и получить из нее жорданову форму матрицы $\sin A$.

[lofar]

Любая симметричная вещественная матрица $A$ представима в виде $A=CDC^{-1}$, где $C$ ортогональна, а $D$ диагональна.

[Alexiii]

Простите,я ошибся,дело касается именно элементов матрицы sinA!

[Бодигрим]

Воспользуйтесь сказанным lofar. Отмечу дополнительно, что из указанного им представления $A=CDC^{-1}$ следует, что $A^k=CD^kC^{-1}$, а значит $\sin A = C(\sin D) C^{-1}$. Что вы можете сказать про $\sin D$, если $D$ - диагональная матрица? Выпишите ее элементы явно.

[Зангези]

Alexiii, для задачи № 1 Вам осталось сделать всего один шаг.
Намекну по поводу задачи № 2: любая квадратная матрица A может быть преобразованием подобия приведена к треугольному виду, причём на главной диагонали треугольной матрицы будут стоять собственные числа матрицы А. Дальше воспользуйтесь советом Бодигрим.