2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пара вопросов по учебнику Кострикина
Сообщение17.08.2018, 20:58 


13/06/10
144
Ради закрепления материала решил перечитать "Введение в алгебру" Кострикина. Я заметил, что в этом учебнике есть факты, которые при первом прочтении кажутся не особо важными, но на самом деле в дальнейшем используются при доказательстве некоторых теорем.

В связи с этим появился вопрос. В параграфе "Отношения эквивалентности. Факторизация отображений" показывается, как можно разложить произвольное отображение $f:X \to Y$ в произведение сюръективного отображения $p: X \to X/\omega_f$ и инъективного $\bar{f}: X/\omega_f \to Y$. Здесь $\omega_f$ -- следующее отношение эквивалентности: $x \omega_f x' \Leftrightarrow f(x)=f(x')$.

Зачем нам может потребоваться разлагать отображение в произведение сюръективного и инъективного отображения? Чтобы увидеть некоторое сходство с теоремой о гомоморфизме для групп? Или для того, чтобы определять сюръективность $f$ по сюръективности $\bar{f}$?

Второй вопрос касается линейной оболочки. Множество $V$ всех линейных комбинаций векторов $ X_1, \ldots, X_k $ называют их линейной оболочкой.

Далее в некоторых местах говорится:
Цитата:
$V$ -- линейная оболочка в $\mathbb{R}^n$

Цитата:
для каждой линейной оболочки $V$, входящей в множество


Чем в приведенных выше цитатах линейная оболочка отличается от подпространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара вопросов по учебнику Кострикина
Сообщение17.08.2018, 21:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
NNDeaz в сообщении #1333178 писал(а):
Зачем нам может потребоваться разлагать отображение в произведение сюръективного и инъективного отображения? Чтобы увидеть некоторое сходство с теоремой о гомоморфизме для групп? Или для того, чтобы определять сюръективность $f$ по сюръективности $\bar{f}$?
Например, отображения $p, \bar f$ могут быть интересными сами по себе или проливать свет на $f$, или $X/\omega_f$ чем-то лучше $X$; отношение $\omega_f$ тоже часто полезно*, ну а если его упоминать, то эту теорему стоит упоминать тоже, ибо для общего случая можно мало что добавить, и без теоремы $\omega_f$ будет не таким интересным. То, что вы предложили, тоже может попадаться.

* Ну и с этим отношением связано разбиение на множества (в конкретных случаях — линии/поверхности etc.) уровня, тоже небесполезное.

NNDeaz в сообщении #1333178 писал(а):
Чем в приведенных выше цитатах линейная оболочка отличается от подпространства?
Можно предположить, что дальше упоминаются векторы, на которые она была натянута. А может быть, в каких-то случаях это просто вольность речи. (Контекста подлиннее вы не дали, искать самому по книге скучно.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара вопросов по учебнику Кострикина
Сообщение17.08.2018, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
NNDeaz в сообщении #1333178 писал(а):
Чем в приведенных выше цитатах линейная оболочка отличается от подпространства?
Линейная оболочка, натянутая на какие-то векторы -- это то же, что подпространство, порождённое этими векторами. Но автор всё равно должен был предпочесть один термин другому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара вопросов по учебнику Кострикина
Сообщение18.08.2018, 14:19 
Заслуженный участник


18/01/15
3318
NNDeaz в сообщении #1333178 писал(а):
Зачем нам может потребоваться разлагать отображение в произведение сюръективного и инъективного отображения

Затем, что такое разложение встречается очень часто, и является очень полезным, когда решаются какие-то вопросы про гомоморфизмы групп, или гомоморфизмы колец, или непрерывные отображения топологических пространств, и т.д. и т.п. Короче, сплошь и рядом. Учитесь дальше, и на своем пути встретите множество примеров.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: kthxbye


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group