Предельный переход под знаком интеграла

[assik]

Имеются две функциональные последовательности $v_n(x)$ и $u_n(x)$, определенные следующим образом:

$v_n(x)=\frac{1}{x}\int\limit_{0}^{x}\frac{u_n(\xi)\xi}{1-\delta u_n(\xi)}d\xi, \quad u_{n+1}(x)=\int\limit_{0}^{x}\frac{v_n(\xi)}{\sqrt{1-v_n(\xi)^2}}d\xi, \quad u_0(x)=u_0. \quad \qquad (1) $

Доказано, что каждая из них сходится на отрезке $[0,\rho]$ к $v(x)$ и $u(x)$ соответственно. При этом

$v_{n+1}(x)>v_n(x),\quad u_{n+1}(x)>u_n(x).$

Можно ли, перейдя к пределу в обоих частях (1), утверждать, что на $[0,\rho]$

$v(x)=\frac{1}{x}\int\limit_{0}^{x}\frac{u(\xi)\xi}{1-\delta u(\xi)}d\xi, \quad u(x)=\int\limit_{0}^{x}\frac{v(\xi)}{\sqrt{1-v(\xi)^2}}d\xi. \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $

Насколько мне известно, при соблюдении условия неубывания предельный переход под знаком интеграла Лебега допустим, но смущает то, что в крайней точке $x=\rho$ может оказаться

$1-\delta u(\rho)=0,\qquad 1-v(\rho)^2=0.$

[thething]

assik в сообщении #1333055 писал(а):

Насколько мне известно, при соблюдении условия неубывания предельный переход под знаком интеграла Лебега допустим

Ещё в теореме Б.Леви требуется, чтобы функции последовательности были суммируемы и интегралы от них были ограничены в совокупности. Как с этими условиями?

[assik]

thething в сообщении #1333061 писал(а):

Ещё в теореме Б.Леви требуется, чтобы функции последовательности были суммируемы и интегралы от них были ограничены в совокупности. Как с этими условиями?

Последовательности

$\frac{u_n(x)x}{1-\delta u_n(x)},\qquad \frac{v_n(x)}{\sqrt{1-v_n(x)^2}}$

интегрируемы (по Риману) для всех $x\in[0,\rho]$ и они ограничены.

[thething]

Ну, раз так, то по той же теореме предельная функция тоже суммируема, так что почему Вас смущает это

assik в сообщении #1333055 писал(а):

может оказаться
$1-\delta u(\rho)=0,\qquad 1-v(\rho)^2=0.$

?

[assik]

thething в сообщении #1333073 писал(а):

Ну, раз так, то по той же теореме предельная функция тоже суммируема, так что почему Вас смущает это

Честно сказать не особо осведомлен в вопросах, связанных с теорией меры и интегралом Лебега. Вот и решил проконсультироваться. Благодарен что откликнулись.

[pogulyat_vyshel]

я бы сказал, что речь идет о принципе сжатых отображений в подходящем пространстве

-- 17.08.2018, 23:21 --

assik в сообщении #1333055 писал(а):

я к пределу в обоих частях (1), утверждать, что на $[0,\rho]$
$v(x)=\frac{1}{x}\int\limit_{0}^{x}\frac{u(\xi)\xi}{1-\delta u(\xi)}d\xi, \quad
u(x)=\int\limit_{0}^{x}\frac{v(\xi)}{\sqrt{1-v(\xi)^2}}d\xi. \qquad \qquad \qquad \qquad (2)
$

а эти уравнения вообще можно представить через дифуры

[DeBill]

assik
А $u_0$ - константа?
Если она - положительна, то нет монотонности (ибо $u_1(0)=0$).
Если же она отрицательна, то, похоже, монотонность есть (и, наверно, есть и сжимаемость). И, видимо, дейст-но есть сходимость - к неподвижной точке (= нулю)....

[pogulyat_vyshel]

Очевидно речь идет о системе уравнений

$$v'=\frac{u}{1-\delta u}-v/x,\quad u'=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}$$

[DeBill]

Последовательность ТС - именно такую и строят при док-ве существования решений дифура, указанного pogulyat_vyshel
Поэтому кажется разумным посмотреть, что ж это за дифур. Беда: у него в нуле -особенность...
Стандартное превращение его в автономный (добавлением уравнения $x'=1$), с последующим домножением правой части на $x$ (это не меняет его фазовый портрет в $\mathbb{R}^3$) приводит к трехмерному полю с прямой особых точек, и суммой собственных значений во всех особых точках, равной нулю.
Это очень смешно, но как раз про такие поля мы с коллегами и написали (не очень удачно, правда) статью год назад (и закончили ее правку вчера)....
Заметим, что интегральные уравнения, соответствующие дифуру, круче дифура: они содержат в одном флаконе и дифур, и начальное условие. Так что, для дифура надо искать решение $(u,v)$ с нулевыми нач. условиями. Соответственно, для трехмерного поля, надо искать траектории, входящую в его особую точку (0,0,0). Но таких - ровно две: $u=v=0$ и $x=u=0$ (нехорошая она...) (и вот это то я как раз про такие дифуры и знаю!). Итого: если есть сходимость последовательности, то только к нулевому решению!
Ну, а теперь можно и посмотреть. Вроде, будет так:
1. Если $u_0 <0$, $u_0^2 <2(1-u_0 \delta)$, $u_0^2 + \rho^2 <4(1-u_0\delta)$, то есть монотонное возрастание, и сходимость будет, и именно к нулям..
2. Для положительного $u_0$: видимо, ТС просто опечатался, и при вроде бы тех же предположениях (не проверял), будет монотонное УБЫВАНИЕ, и опять сходимость к нулю.

-- 18.08.2018, 03:18 --

О применимости метода сжимающих отображений: он хорош для неособых точек. В особых точках - неприятности (напр. , в узел входит куча фазовых кривых). Есть, однако, теорема Адамара-Перрона: каждому ненулевому с.значению линеаризации поля в особой точке соответствует сепаратриса, втыкающаяся в особую точку , с соответствующим направлением входа. Доказательство ее - да, тоже по ТСО, но....В тексте, шо мы готовили, похожее место занимает пару страниц тяжелых выкладок.

[DeBill]

Конечно, для системы, соответствующей задаче ТС, наличие сепаратрисы очевидно; а сходимость получится, видимо, из монотонности.

[assik]

DeBill в сообщении #1333213 писал(а):

соответствующей задаче ТС

что за задача ТС ?

[Someone]

assik в сообщении #1334827 писал(а):

что за задача ТС ?

У меня есть некоторое подозрение, что речь идёт о задаче, которую Вы сформулировали в первом сообщении темы.
ТС — "топикстартер".

[DeBill]

Ага.
assik
Я спрашивал, не ошиблись ли Вы с монотонностью: посл-ть (для положительных $u_0$)- убывает, нет?