предел последовательности интегралов

[Alexiii]

Просто надо вычислить

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{1}^{n}\ln(1+\frac{1}{\sqrt{x}}) dx$$

[Brukvalub]

Превратите n в х и позовите Лопиталя, он все вычислит.

[AD]

Brukvalub писал(а):

Превратите n в х и позовите Лопиталя, он все вычислит.

Только, на всякий случай, не в $x$, а в $y$ какой-нибудь. $x$ занят.

P.S. А что эта и соседняя темы делают в этом разделе?

[Alexiii]

тут n натуральное,а x целое

[Brukvalub]

Alexiii писал(а):

тут n натуральное,а x целое

Сразу видно, товарищ веселить умеет!

[AD]

Alexiii писал(а):

тут n натуральное,а x целое

Вы имели в виду x действительное? Ну, в общем, предложение Brukvalubа в том и заключается, чтобы объявить$n$ действительным, и по нему подифференцировать. Если по действительным предел будет существовать, то и по целым будет такой же.

[Alexiii]

была описка,я разумел,что x вещественное,простите
без Лопиталя никак нельзя?

[Gordmit]

Alexiii писал(а):

без Лопиталя никак нельзя?

Можно. Вычислив интеграл

$$\int_1^n \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx$$

(указание: по частям).

[Бодигрим]

Brukvalub писал(а):

Превратите n в х...

Крибле-крабле-бумс: $\ln \mapsto {\rm lx}$.

[Brukvalub]

Бодигрим писал(а):

Brukvalub писал(а):
Превратите n в х...

Крибле-крабле-бумс: $\ln \mapsto {\rm lx}$

Улыбнуло! Хорошо шутящий человек - наш человек!

[Henrylee]

Раз уж задача решена, позволю себе добавку.
Можно обойтись без интегрирования логарифма, заметив, что предел интеграла по любому фиксированному отрезку равен нулю, а подынтегральное выражение эквивлентно $1/\sqrt{x}$ при $x\to\infty$. Ответ находится практически устно. Строго это будет выглядеть так:

$$ I_n:=\frac1{\sqrt{n}}\int\limits_1^n\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)dx $$

Ясно, что для любого $\varepsilon>0$ $\exists C_\varepsilon$

$$ \frac{1-\varepsilon}{\sqrt{x}}\leqslant\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)\leqslant \frac{1+\varepsilon}{\sqrt{x}},\quad x>C_\varepsilon $$

Тогда

$$ I_n=\frac1{\sqrt{n}}\int\limits_1^{C_\varepsilon}\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)dx+ \frac1{\sqrt{n}}\int\limits_{C_\varepsilon}^n\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)dx $$

Первое слагаемое стремится к нулю, а второе оценивается:

$$ 2(1-\varepsilon)\frac{\sqrt{n}-\sqrt{C_\varepsilon}}{\sqrt{n}}\leqslant \frac1{\sqrt{n}}\int\limits_{C_\varepsilon}^n\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)dx \leqslant 2(1+\varepsilon)\frac{\sqrt{n}-\sqrt{C_\varepsilon}}{\sqrt{n}} $$

[Alexiii]

Так ответ требуется точный!

[RIP]

Alexiii писал(а):

Так ответ требуется точный!

Henrylee доказал, что предел равен 2. Куда уж точнее?