Демидович 545. Предел функции

[Ivan_B]

С ответом не сходится. Помогите найти ошибку.
545. $\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1+x\cdot2^x}{1+x\cdot3^x}\right)^{1/x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\left(\left(1+\frac{x\cdot2^x-x\cdot3^x}{1+x\cdot3^x}\right)^{\frac{1}{\frac{x\cdot2^x-x\cdot3^x}{1+x\cdot3^x}}}\right)^{\frac{x\cdot2^x-x\cdot3^x}{x^3(1+x\cdot3^x)}}=$$e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot2^x-x\cdot3^x}{x^3(1+x\cdot3^x)}}$, если $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot2^x-x\cdot3^x}{x^3(1+x\cdot3^x)}$ существует.
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot2^x-x\cdot3^x}{x^3(1+x\cdot3^x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2^x-3^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^x-1}{x^2}$
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^x-1}{x}=\ln\frac{2}{3}$
Поэтому $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^x-1}{x^2}=\infty$ и $\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1+x\cdot2^x}{1+x\cdot3^x}\right)^{1/x^3}$ не существует(при $x\to +0$ получается бесконечность, при $x\to -0$ получается $0$).

[thething]

Ivan_B в сообщении #1332657 писал(а):

при $x\to +0$ получается бесконечность, при $x\to -0$ получается $0$

Только наоборот, ибо логарифм, а так всё верно, не вижу ошибок. Какой ответ в задачнике?

[Ivan_B]

Ответ $\frac{2}{3}$

[thething]

Ну, будь в степени квадрат икса, так бы и получилось

[Ivan_B]

thething в сообщении #1332658 писал(а):

Только наоборот, ибо логарифм

Почему логарифм, а не $e^x$

[thething]

Я имел ввиду логарифм $\ln\frac{2}{3}$

[Ivan_B]

Теперь понятно. Спасибо!

[thething]

Ещё, такой совет. Вот эти три строчки

Ivan_B в сообщении #1332657 писал(а):

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot2^x-x\cdot3^x}{x^3(1+x\cdot3^x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2^x-3^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^x-1}{x^2}$
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^x-1}{x}=\ln\frac{2}{3}$
Поэтому $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^x-1}{x^2}=\infty$

стОит оформлять, как одну цепочку равенств, а то как-то громоздко смотрится тривиальное, в общем-то решение.

-- 15.08.2018, 19:20 --

Открыл Демидовича, так там сам чорт не разберёт, квадрат там или куб. Во в соседнем примере отчётливый куб, а в этом -- может быть и квадрат)

[Ivan_B]

thething в сообщении #1332667 писал(а):

Ещё, такой совет.

Спасибо. Постараюсь исправиться.

Еще один:
$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1+\sin x\cos \alpha x}{1+\sin x\cos \beta x}\right)^{\ctg^3 x}$
Аналогично:
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos^3 x(\sin x\cos \alpha x-\sin x\cos \beta x)}{\sin^3 x(1+\sin x\cos \beta x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}x\right)\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}x\right)}{\sin^2 x}=\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}$
Результат $e^\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}$
Ответ из задачника $e^{\beta^2-\alpha^2}$

[thething]

Тоже Ваша правда, правда неаккуратно оформлено, знаки пределов потеряны

[Ivan_B]

thething в сообщении #1332673 писал(а):

правда неаккуратно оформлено, знаки пределов потеряны

Исправил.

thething
Спасибо огромное за помощь!