Операция на множестве мофризмов

[ikozyrev]

Здравствуйте!
решаю задачку:
Пусть $\mathcal{C}$ - одна из категорий $\mathcal{MON, GRP, AB, RING, ANN}$, а $\ast$ - операция, или одна из двух операций на объектах этой категории. Попытаемся для объектов $X,Y \in \in \mathcal{C}$ ввести на множестве $Mor_{\mathcal{C}}(X,Y)$ операцию $\otimes$ по правилу $(\alpha\otimes\beta)(x)=\alpha(x)\ast\beta(x)$. В каких случаях эта попытка увенчается успехом?

Я рассуждал так:
Если $X$ - имеет хотябы один морфизм в $Y$, то тогда наша операция $\otimes$ должна результатом иметь морфизм, сохраняющий операцию $\ast$:
$(\alpha\otimes\beta)(x_1\ast x_2)=\alpha(x_1\ast x_2)\ast\beta(x_1\ast x_2)=\alpha(x_1)\ast \alpha(x_2)\ast \beta(x_1)\ast \beta(x_2)=$$(\alpha\otimes\beta)(x_1)\ast (\alpha\otimes\beta)(x_2)=\alpha(x_1)\ast \beta(x_1)\ast \alpha(x_2)\ast \beta(x_2)$, отсюда, получаем что образ $X$ при любых морфизмах должен быть коммуникативным по операции $\ast$.
Соотвественно, получаем что для $\mathcal{RING, AB}$ мы можем взять сложение а для $\mathcal{ANN}$ - как сложение так и умножение.
Но как обстоит дело с моноидом? Там нет обратных элементов и требование коммуникативности не выводится...