Существование измеримой функции

[Henrylee]

Даны две произвольные функции на отрезке $[0,1]$
$F_1(x)<F_2(x)$. Верно ли, что между ними можно впихнуть измеримую (для конкретики, по Лебегу)?

Может быть, тривиально, но не соображу.

[Slav-27]

Предположим, что всегда можно. Возьмём неизмеримую положительную $f$. Для $t<1$, близких к $1$, впихнём между $f$ и $tf$ измеримую...

[Henrylee]

Slav-27 в сообщении #1332184 писал(а):

Предположим, что всегда можно. Возьмём неизмеримую положительную $f$. Для $t<1$, близких к $1$, впихнём между $f$ и $tf$ измеримую...

.. и устремим $t\to1$. Да, жаль

[slavav]

А правда что поточечный предел измеримых функций измерим? Я не уверен в этом.

Другое решение: Пусть $A$ - неизмеримое множество. Рассмотрим характеристическую функцию $\chi_A$.
$F_1 = \chi_A, F_2 = 2\chi_A$. Пусть $F_1 < f < F_2$. Тогда что есть прообраз $f^{-1}([1, 2])$?

[pogulyat_vyshel]

slavav в сообщении #1332226 писал(а):

А правда что поточечный предел измеримых функций измерим?

смотря предел чего, если просто направленности то, вообще говоря, нет

[grizzly]

slavav в сообщении #1332226 писал(а):

А правда что поточечный предел измеримых функций измерим?

Вербицкий говорит, что правда (для ограниченных на множестве конечной меры функций).

[_hum_]

slavav в сообщении #1332226 писал(а):

Другое решение: Пусть $A$ - неизмеримое множество. Рассмотрим характеристическую функцию $\chi_A$.
$F_1 = \chi_A, F_2 = 2\chi_A$. Пусть $F_1 < f < F_2$. Тогда что есть прообраз $f^{-1}([1, 2])$?

прообраз $f^{-1}([1, 2])$ может быть измеримым множеством, включающим в себя множество $A$ :)

[thething]

slavav в сообщении #1332226 писал(а):

А правда что поточечный предел измеримых функций измерим?

Достаточно даже сходимости почти всюду

[slavav]

_hum_ в сообщении #1332231 писал(а):

slavav в сообщении #1332226 писал(а):

Другое решение: Пусть $A$ - неизмеримое множество. Рассмотрим характеристическую функцию $\chi_A$.
$F_1 = \chi_A, F_2 = 2\chi_A$. Пусть $F_1 < f < F_2$. Тогда что есть прообраз $f^{-1}([1, 2])$?

прообраз $f^{-1}([1, 2])$ может быть измеримым множеством, включающим в себя множество $A$ :)

Нет, не может. Я грубовато составил функцию - нужны нестрогие неравенства. Но вне $A$ функция $f$ должна быть нулём.

[Slav-27]

slavav в сообщении #1332226 писал(а):

Другое решение

Да, так лучше (только поправить чуть-чуть).

[_hum_]

slavav в сообщении #1332235 писал(а):

Нет, не может. Я грубовато составил функцию - нужны нестрогие неравенства. Но вне $A$ функция $f$ должна быть нулём.

ничего не понял

[Slav-27]

_hum_
Одна функция вне множества $A$ равна $0$, а на нём $2$. Другая вне $1$, а на $3$. Впихиваем и смотрим прообраз $[2,3]$.

-- 13.08.2018, 19:24 --

Если мы на $A$, то значение там. Если мы вне, то оно не там. Стало быть, $A$ -- это прообраз.

[_hum_]

Slav-27
Ага. Тогда идею понял.


Кстати, если не ошибаюсь, на пространстве с мерой измеримые функции рассматриваются как классы эквивалентности (две эквивалентны, если разность почти всюду нулевая функция), так что неравенство наверное можно ослабить до почти всюду. И тогда ваше доказательство не совсем очевидно, в отличие от того, что выше приведено.

[demolishka]

slavav в сообщении #1332226 писал(а):

А правда что поточечный предел измеримых функций измерим?

Да, в силу

$$f^{-1}(\overline{B}_{r})=\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}f^{-1}_{n}\left(B_{r+\frac{1}{N}}\right).$$

Здесь $\overline{B}_{r}$ - замкнутый шар, $B_{r}$ - открытый и $f_{n}$ сходятся к $f$ поточечно.

[pogulyat_vyshel]

Контрпример.

Берем неизмеримое по Лебегу множество $A\subset[0,1]$ и пусть $D$ -- множество всех конечных подмножеств $A$. Очевидно, все элементы $D$ являются измеримыми множествами, а само $D$ направлено по включению $\subset$. Имеем $\lim_{b\in D}\chi_{b}=\chi_A$ -- предел измеримых функций оказался функцией неизмеримой. Счетность в таких вопросах -- вещь серьезная, ее не надо забывать оговаривать.