2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение12.08.2018, 08:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
835
Антарктика
Добрый день!

Возникла пара вопросов, связанных с теоремой Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в $C[a,b]$. Далее буду ссылаться на Колмогорова, Фомина.

По теореме Хана-Банаха мы продолжаем функционал $F$ на пространство ограниченных функций с сохранением нормы. Затем вводим семейство функций $h_a(x)\equiv0$, $$h_\tau(x)=\begin{cases}
1,&\text{если $a<x\leqslant\tau$;}\\
0,&\text{если $\tau<x\leqslant b$.}
\end{cases}$$
Затем определяем функцию $\Phi(\tau)=F(h_\tau(x))$. Дальше показываем, что она имеет ограниченное изменение... Собственно, по доказательству нет никаких вопросов, а, как выяснилось, есть вопросы по замечанию после доказательства.

Колмогоров и Фомин пишут, что для любого функционала $F$ на $C[a,b]$ введенная функция $\Phi(\tau)$ является непрерывной справа всюду на $(a,b]$. И вот тут я понял, что не могу это обосновать. Во-первых, не понимаю, почему непрерывность именно справа. Во-вторых, как понимать непрерывность справа в точке $b$? Склоняюсь к мысли, что опечатка и $b$ надо выкинуть. И, в-третьих, как формально обосновать эту непрерывность? Хочется по определению, с учетом непрерывности функционала $F$, но наталкиваюсь на то, что норма разности любых двух различных функций семейства $h_\tau$ равна единице (здесь норма -- супремум модуля разности). Может, я не вижу чего-то очевидного?

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение12.08.2018, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
835
Антарктика
Кажись, разобрался. Из построения $\Phi$ эта непрерывность справа не следует, но мы можем переопределить $\Phi$ в точках разрыва (коих, в силу монотонности, не более, чем счетное число) так, чтобы переопределенная функция стала непрерывной справа. При этом интеграл не изменит своего значения, верхняя оценка нормы функционала не изменится, а нижняя -- либо не изменится, либо усилится (если в точке разрыва $\xi$ $\Phi(\xi)\notin[\Phi(\xi-0),\Phi(\xi+0)]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 17:18 
Аватара пользователя


31/08/17
834
thething в сообщении #1331879 писал(а):
По теореме Хана-Банаха мы продолжаем функционал $F$ на пространство ограниченных функций с сохранением нормы.

Я думаю, что вся проблема сидит вот в этой постановке вопроса. С помощью теоремы Хана-Банаха можно много всяких разных продолжений получить
А вот если мы будем продолжать функционал $F$ так как это обычно делается в теории меры (см Лоран Шварц Анализ или Эдвардс "Функциональный анализ") тогда вот это утверждение
thething в сообщении #1331879 писал(а):
для любого функционала $F$ на $C[a,b]$ введенная функция $\Phi(\tau)$ является непрерывной справа

является тривиальным следствием стандартных теорем

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
835
Антарктика
Именно, что тут речь идет просто о некоем продолжении, без конкретики. Дальше, цитирую:
Цитата:
Заметим, наконец, что для любого функционала $F$ на $C[a,b]$ соответствующая функция $\Phi(\tau)$, определяемая равенством (17), есть функция именно из $V^0[a,b]$

Равенство (17) здесь -- это как раз $\Phi(\tau)=F(h_\tau(x))$, а $V^0[a,b]$ -- это множество функций ограниченной вариации, обращающихся в 0 в точке $a$ и непрерывных справа всюду на интервале (или полуинтервале).

Вот я и пытался угадать, как только из рассматриваемых в доказательстве построений следует процитированное утверждение. Сделал вывод, что никак, ну а оказалось, что не очень-то и надо. Авторы, видимо, сочли, что в контексте разговора о классах эквивалентности, грамотный человек поймет их утверждение сразу, как надо, а не будет сидеть тупить пол дня, пытаясь формально его по определению обосновать (это я про себя)).

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 18:45 
Аватара пользователя


31/08/17
834
thething в сообщении #1331920 писал(а):
но мы можем переопределить $\Phi$ в точках разрыва (коих, в силу монотонности, не более, чем счетное число)

вообще-то не можем, мера даже одной единственной точки необязана рвавняться нулю, возмите ,например, $\delta-$функцию

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
835
Антарктика
Можем, см. Колмогоров-Фомин, издание 1976 года, стр.364, свойство 3 интеграла Римана-Стилтьеса.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:09 


09/10/15
35
Да, это ужас с этим Стилтьесом. Тут ещё нюанса, что норму функционала, через вариацию функции, которая соответствует функционалу, не представить. Хотя попадается, что мол норма равна полной вариации. %) С мерами другое дело...

(Оффтоп)

ну ещё и нюанс, как в анекдоте, как меру строить по ф. р., какие полуинтервал брать.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:10 
Аватара пользователя


31/08/17
834
thething в сообщении #1332259 писал(а):
ожем, см. Колмогоров-Фомин, издание 1976 года, стр.364, свойство 3 интеграла Римана-Стилтьеса.

а при чем тут интеграл Римана-Стилтьеса? Мы занимаемся продолжением линейного функционала. Вот берем какую-нибудь точку $c\in (a,b)$ и функционал $F(u)=u(c)$ -- пожалуйста, он определен на пространстве всех ограниченных функций на отрезке $[a,b]$ и непрерывен в смысле $\sup-$нормы. Ну и как вы собираетесь менять значения функции $u$ в точке $c$ таким образом, что бы $F(u)$ не изменилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2952
RabbitXO в сообщении #1332263 писал(а):
Тут ещё нюанса, что норму функционала, через вариацию функции, которая соответствует функционалу, не представить.
Объясните, что Вы имеете в виду. А то теорема, коей посвящена данная тема, именно это и утверждает - что норма равна вариации.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
835
Антарктика
pogulyat_vyshel в сообщении #1332264 писал(а):
а при чем тут интеграл Римана-Стилтьеса?

Как при чем? Мы получили общий вид функционала на $C$, как интеграл Римана-Стилтьеса. Теперь можем построенную функцию ограниченной вариации переопределить в рамках дозволенного. От этого интеграл не поменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:24 
Аватара пользователя


31/08/17
834
по-вашему тогда получается, что в исходном утверждении непрерывность справа несущественна, можно и слева устроить непрерывность -- как доопределим так и будет, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
835
Антарктика
Как я понимаю, можно вообще непрерывности справа-слева не требовать, а переопределять как угодно. Главное условие -- переопределить так, чтобы переопределенное значение находилось в пределах скачка, иначе оценка нормы снизу испортится.. А непрерывность справа -- ну может быть, это просто некое соглашение, для универсальности, чтобы норму можно было считать через вариацию каждый раз однотипно.

Но может быть, я чего-то не понимаю..

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:32 
Аватара пользователя


31/08/17
834
я может тоже чего-то не понимаю, но если мы будем продолжать функционал не абы как, а стандартно, то там сразу становится ясно, откуда берется непрерывность справа и почему она именно справа, а не слева

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:35 


09/10/15
35
Mikhail_K в сообщении #1332266 писал(а):
что норма равна вариации.

меры.
Ну если Стилтьеса интеграл брать от непрерывной функции по функции тождественно равной нулю и по функции $\chi_{\{0\}}$ вроде бы результат один. А вариация у второй равна двум. Или я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
835
Антарктика
pogulyat_vyshel в сообщении #1332271 писал(а):
если мы будем продолжать функционал не абы как, а стандартно, то там сразу становится ясно, откуда берется непрерывность справа и почему она именно справа

Ок, попробую осилить Эдвардса (вот это труд!!) В любом случае, мое рассуждение вроде бы (вроде бы) ничего не испортит (а в лучшем случае, просто ничего не изменит))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group