2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численные методы ОДУ. Чувствительность от шага
Сообщение11.08.2018, 09:54 


06/08/13
119
Здравствуйте, все!
Тестируя собственноручно написанный явный метод Адамса для ОДУ первого порядка, встретился с весьма неприяной ситуацией (и для всех стандартных основных методов, кстати тоже) зависимости точности решения от (наверное, погрешности определения) величины шага. Код метода в scilab вот:
Код:
function [tr, xr] = Adams4 (t0,x0,h,te)
tr = [t0: h: te]; n = length(tr);xr =zeros (n);
[t1, x1] = RK4 (t0, x0, h); [t2, x2] = RK4 (t1, x1, h);
[t3, x3] = RK4 (t2, x2, h);
xr(1) = x0; xr(2) = x1;xr(3) = x2; xr(4) = x3;
f0 = func(tr(1), xr(1)); f1 = func(tr(2), xr(2));
f2 = func(tr(3), xr(3)); f3 = func(tr(4), xr(4));
for k = 5:1:length(tr)
dx=55.0.*f3-59.0.*f2+37.0.*f1-9.0.*f0;
xr(k) = xr(k-1)+ h.*dx./24.0;
f0 = f1; f1 = f2; f2 = f3; f3 = func(tr(k), xr(k));
end
endfunction

function [t,x] = RK4 (t,x,h, t0,te)
g1 = h.*func(t,x);
t2 = t + 0.5.*h; x2 = x + 0.5.*g1;
g2 = h.*func(t2, x2);
t3 = t + 0.5.*h; x3 = x + 0.5*g2;
g3 = h.*func(t3, x3);
t4 = t + h; x4 = x + g3;
g4 = h.*func(t4, x4);
dx=(g1+2.0.*g2+2.0.*g3+ g4)./6.0;
x = x + dx; t = t+h;
endfunction

function res = func(t,x)
res = -x.*tan(t) + 1.0./cos(t);
endfunction

Так вот, делая два следующих вызова этой функции:
Код:
[te, xe2] = Adams4 (%pi, 1.0, 3.0.*%pi./99.0, 4.0.*%pi);
и
Код:
[te, xe2] = Adams4 (%pi, 1.0, 3.0.*%pi./100.0, 4.0.*%pi);
, получаем в первом случае правильный ответ, а во втором неправильный совершенно.
Любопытно, что встроенный в scilab решатель в обоих случаях решает правильно.
И вот по по этому поводу вопрос: можно ли с этой сильной неустойчивостью чего-нибудь сделать, как-нибудь её победить?
Как гипотеза: использовать переменный шаг при этом подбирать его так, чтобы он согласовался с основным шагом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы ОДУ. Чувствительность от шага
Сообщение11.08.2018, 11:59 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
17131
Кронштадт
robot80 в сообщении #1331729 писал(а):
получаем в первом случае правильный ответ, а во втором неправильный совершенно
А что Вы считаете в данном случае "правильным ответом"? На интервале интегрирования $t \in [\pi, 4\pi]$ правая часть очевидно разрывна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы ОДУ. Чувствительность от шага
Сообщение11.08.2018, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6412
Москва
Изменение величины шага на результат решения повлияет, но не изменение на 1%.
Могу только предположить, что функция разрывная, и при перемене шага то ли попадаем на точки разрыва, то ли не попадаем. И, собственно, проблема лишь в том, что метод, предполагающий непрерывность функции, не обязательно работает на разрывных (и необязательно не работает, "как повезёт").

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы ОДУ. Чувствительность от шага
Сообщение11.08.2018, 14:28 


06/08/13
119
Pphantom, Правильный ответ в данном случае тот, который максимально совпадает с аналитическим решением.
Евгений Машеров, да, похоже, действительно, узел сетки попадал в разрыв функции. Удивительно, конечно, такое точное совпадение двух чисел. Я как-то сразу об этом не подумал. А внутренний сайлабовский решатель, видимо, как-то их обходит.
Спасибо за совет! Тему можно закрыть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы ОДУ. Чувствительность от шага
Сообщение11.08.2018, 16:31 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
17131
Кронштадт
robot80 в сообщении #1331772 писал(а):
Pphantom, Правильный ответ в данном случае тот, который максимально совпадает с аналитическим решением.
В таком случае есть проблема. :-) Продолжение решения задачи Коши за точку разрыва само по себе некорректно, для соответствующего деяния само понятие решения нужно некоторым образом обобщать. Пока такого обобщения нет, любой численный результат для $t>3 \pi/2$ в любом случае неверен (даже если внешне соответствует интуитивным представлениям о "правильности"). Непосредственно при счете, конечно, проблема возникает по указанной Евгений Машеров причине, но еще вопрос, что лучше - получить очевидно нелепый ответ или случайно более или менее удачно "проскочить" точку разрыва. Во втором случае ответ может показаться правдоподобным (и при этом останется неверным даже в рамках тех самых интуитивных представлений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы ОДУ. Чувствительность от шага
Сообщение16.08.2018, 22:07 
Заслуженный участник


10/01/16
1895
Во втором примере, пятидесятоя точка точно вляпывается в особенность. Но, поскольку косинус от пи плюс стопятьдесят сотых пи немножко не равен нулю, программа не вылетает (а просто выдает чушь)...
Забавно, как бы эту задачу (найти значение в точку 4пи) решали:
а) первокурсник: запускает Вольфрам; в ответ $x=\sin t -\cos t$ подставляет тэ, получает -1
б) ленивый прикладник: запускает пакет, получает -1, но иногда (по пятницам, 13) 10000;
б1) неленивый: реализует ручками какойнить численный метод, с тем же результатом - но по всем пятницам
Более опытный прикладник объясняет им, что - при взбрыке программы - они нарушили Священный Ритуал: при выборе шага, надо, чтоб коэффициент при пи содержал в знаменателе простое число, большее 17. А при запуске программы, надо в левой руке держать банку с пивом...
в) второкурсник: решает линейное неоднородное ур-е, далее как а)
г) старшекурсник с дифуров, качественная теория: находит особую точку $x=-1, t= \frac{3\pi}{2}$ , ее орбитальный тип - "устойчивый узел" , делает вывод, что: все траектории вляпываются в эту точку, дальше нет смысла ее продолжать.
д) старшекурсник с дифуров, гладкая теория: замечает, что узел - дикритический, так что траектории гладко продолжаются. Делает вывод: решение в точке 4пи можно найти - численно, если повезет.
е) препод: выходит в комплексную область, исследует все особые точки римановой поверхности "решение", убеждается что все они - однозначного характера, аналитически продолжает решение вокруг всех особых точек, и делает вывод: решение в точке 4пи существует...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: teleglaz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group