Системы переменного состава с точки зрения МСС

[pogulyat_vyshel]

ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

Это самая скользкая тема в курсах теоретической механики. Я даже знаю нескольких крупных механиков, которые категорически отказываются читать этот раздел в своих лекционных курсах. Не то что бы там было что-то непонятно, но навести удовлетворительный математический формализм не удается.

Полагаю, что на этот вопрос надо смотреть с точки зрения механики сплошной среды. Пусть $D\subset \mathbb{R}^3$ открытая, ограниченная область в стандартном физическом $\mathbb{R}^3$. c декартовыми координатами $Ox^1x^2x^3 $. Границу $\partial D$ будем считать кусочно гладким многообразием, достаточно хорошим, что бы применять в дальнейшем теорему Стокса и вектор внешней единичной нормали к $\partial D$ был определен почти всюду.

В область $D$ входит и выходит масса вещества, и нам надо написать законы движения механической системы, состоящей из вещества внутри области $D$. Например, $D$ это объем ракеты заполненный топливом.

Мы будем считать систему $Ox^1x^2x^3 $ инерциальной, а область $D$ покоящейся относительно данной системы. В приложениях область $D$ может двигаться как твердое тело, но этот общий случай сводится к случаю покоя путем перехода в подвижную систему, связанную с областью и введением сил инерции.

Как обычно, $\boldsymbol{x}=x^i\boldsymbol{e}_i$ -- радиус-вектор точки с координатами $x=(x^1,x^2,x^3)$.

Напомним уравнение неразрывности:

$$ \rho_t+\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial x^i}=0,\qquad (1)$$

где $\rho(t,x)$ -- плотность вещества в точке $x$, а $\boldsymbol v=v^i(t,x)\boldsymbol e_i$ -- скорость вещества в точке $x$.

Через $\boldsymbol{F}(t,x)=F^i(t,x)\boldsymbol{e}_i$ обозначим силу, действующую на единицу массы вещества. Мы будем считать, что на вещество внутри области $D$ действуют внешние массовые силы, сумма которых равна

$$\boldsymbol{G}(t)=\int_D\rho(t,x)\boldsymbol{F}(t,x)dV,\quad dV=dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3.$$

Через $p^{ij}(t,x)$ обозначим тензор напряжений. Будем считать, что на границу области $D$ действует суммарная внешняя сила равная

$$\boldsymbol{P}(t)=\int_{\partial D}\boldsymbol{p}_n ds,\quad \boldsymbol{p}_n=p^{ij}n_j\boldsymbol{e}_i,$$

где $\boldsymbol{n}=n^i\boldsymbol{e}_i$ -- единичная внешняя нормаль к $\partial D$; $ds$ -- элемент площади.

Напомним теорему об изменении количества движения

$$ \rho\Big(v^k_t+\frac{\partial v^k}{\partial x^i}v^i\Big)=\rho F^k+\frac{\partial p^{kj}}{\partial x^j}.\qquad (2)$$

Суммарный импульс вещества в области $D$ вычисляется по формуле

$$\boldsymbol{Q}(t)=\int_D\boldsymbol{v}(t,x)\rho(t,x) dV.\qquad (3)$$

В основном в задачах используется только одна теорема, а именно теорема об изменении количества движения системы переменного состава. Формулируется эта терема так.

ТЕОРЕМА. Предположим, что функции $\rho,p^{ij},v^i$ непрерывно дифференцируемы в цилиндре $\mathbb{R}_t\times D\subset\mathbb{R}^4$ и вместе со своими производными продолжаются до непрерывных функций в замыкание этого цилиндра. Тогда верна формула

$${\boldsymbol{\dot Q}}=\boldsymbol{G}+\boldsymbol{P}+\boldsymbol{R},$$

где

$$\boldsymbol{R}=-\int_{\partial D}\boldsymbol{v}(\boldsymbol{v},\boldsymbol{n})\rho ds$$

-- реактивная сила.



Доказательство теоремы.

Продифференцируем формулу (3) по времени , и используя (2) , получим

$$\dot Q^k=\int_D\big( v_t^k\rho+ v^k\rho_t \big)dV=\int_D\Big[ \Big(F^k-\frac{\partial v^k}{\partial x^j}v^j\Big)\rho+\frac{\partial p^{kl}}{\partial x^l}+ v^k\rho_t\Big] dV.$$

Интегрирование по частям дает

$$\int_D\frac{\partial v^k}{\partial x^j}v^j \rho dV=\int_{\partial D} v^kv^j n_j\rho ds-\int_D v^k\mathrm{div}(\rho\boldsymbol{v})dV,\quad \int_D\frac{\partial p^{kl}}{\partial x^l} dV=\int_{\partial D} p^{kl}n_lds.$$

Применим уравнение (1). Теорема доказана.

Аналогично выводятся остальные теремы динамики (теорема об изменении энергии, теорема об изменении кинетического момента) для области $D$.