2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Системы переменного состава с точки зрения МСС
Сообщение10.08.2018, 15:27 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

Это самая скользкая тема в курсах теоретической механики. Я даже знаю нескольких крупных механиков, которые категорически отказываются читать этот раздел в своих лекционных курсах. Не то что бы там было что-то непонятно, но навести удовлетворительный математический формализм не удается.

Полагаю, что на этот вопрос надо смотреть с точки зрения механики сплошной среды. Пусть $D\subset \mathbb{R}^3$ открытая, ограниченная область в стандартном физическом $\mathbb{R}^3$. c декартовыми координатами $Ox^1x^2x^3 $. Границу $\partial D$ будем считать кусочно гладким многообразием, достаточно хорошим, что бы применять в дальнейшем теорему Стокса и вектор внешней единичной нормали к $\partial D$ был определен почти всюду.

В область $D$ входит и выходит масса вещества, и нам надо написать законы движения механической системы, состоящей из вещества внутри области $D$. Например, $D$ это объем ракеты заполненный топливом.

Мы будем считать систему $Ox^1x^2x^3 $ инерциальной, а область $D$ покоящейся относительно данной системы. В приложениях область $D$ может двигаться как твердое тело, но этот общий случай сводится к случаю покоя путем перехода в подвижную систему, связанную с областью и введением сил инерции.

Как обычно, $\boldsymbol{x}=x^i\boldsymbol{e}_i$ -- радиус-вектор точки с координатами $x=(x^1,x^2,x^3)$.

Напомним уравнение неразрывности:
$$
\rho_t+\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial x^i}=0,\qquad (1)$$ где $\rho(t,x)$ -- плотность вещества в точке $x$, а $\boldsymbol v=v^i(t,x)\boldsymbol e_i$ -- скорость вещества в точке $x$.

Через $\boldsymbol{F}(t,x)=F^i(t,x)\boldsymbol{e}_i$ обозначим силу, действующую на единицу массы вещества. Мы будем считать, что на вещество внутри области $D$ действуют внешние массовые силы, сумма которых равна $$\boldsymbol{G}(t)=\int_D\rho(t,x)\boldsymbol{F}(t,x)dV,\quad dV=dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3.$$


Через $p^{ij}(t,x)$ обозначим тензор напряжений. Будем считать, что на границу области $D$ действует суммарная внешняя сила равная
$$\boldsymbol{P}(t)=\int_{\partial D}\boldsymbol{p}_n ds,\quad   \boldsymbol{p}_n=p^{ij}n_j\boldsymbol{e}_i,$$
где $\boldsymbol{n}=n^i\boldsymbol{e}_i$ -- единичная внешняя нормаль к $\partial D$; $ds$ -- элемент площади.

Напомним теорему об изменении количества движения
$$
\rho\Big(v^k_t+\frac{\partial v^k}{\partial x^i}v^i\Big)=\rho F^k+\frac{\partial p^{kj}}{\partial x^j}.\qquad (2)$$

Суммарный импульс вещества в области $D$ вычисляется по формуле
$$\boldsymbol{Q}(t)=\int_D\boldsymbol{v}(t,x)\rho(t,x) dV.\qquad (3)$$

В основном в задачах используется только одна теорема, а именно теорема об изменении количества движения системы переменного состава. Формулируется эта терема так.

ТЕОРЕМА. Предположим, что функции $\rho,p^{ij},v^i$ непрерывно дифференцируемы в цилиндре $\mathbb{R}_t\times D\subset\mathbb{R}^4$ и вместе со своими производными продолжаются до непрерывных функций в замыкание этого цилиндра. Тогда верна формула
$${\boldsymbol{\dot Q}}=\boldsymbol{G}+\boldsymbol{P}+\boldsymbol{R},$$ где
$$\boldsymbol{R}=-\int_{\partial D}\boldsymbol{v}(\boldsymbol{v},\boldsymbol{n})\rho ds$$ -- реактивная сила.



Доказательство теоремы.

Продифференцируем формулу (3) по времени , и используя (2) , получим
$$\dot Q^k=\int_D\big( v_t^k\rho+ v^k\rho_t \big)dV=\int_D\Big[ \Big(F^k-\frac{\partial v^k}{\partial x^j}v^j\Big)\rho+\frac{\partial p^{kl}}{\partial x^l}+ v^k\rho_t\Big] dV.$$
Интегрирование по частям дает
$$\int_D\frac{\partial v^k}{\partial x^j}v^j \rho dV=\int_{\partial D} v^kv^j n_j\rho ds-\int_D v^k\mathrm{div}(\rho\boldsymbol{v})dV,\quad
\int_D\frac{\partial p^{kl}}{\partial x^l} dV=\int_{\partial D} p^{kl}n_lds.$$
Применим уравнение (1). Теорема доказана.

Аналогично выводятся остальные теремы динамики (теорема об изменении энергии, теорема об изменении кинетического момента) для области $D$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group