Псевдориманова метрика

[scwec]

Докажите, что на внутренности 2-тора существует псевдориманова метрика, для которой найдутся точки, не соединяемые геодезической, хотя геодезические бесконечно продолжаемы.

[scwec]

Доказательство можно построить так.
1. Внутренность 2-тора и несущее многообразие группы $Sl_2(R)$ диффеоморфны $S^1\times\mathbb{R}^2$.
2. На группе $SL_2{(R)}$ существует двусторонне инвариантная псевдориманова структура и однопараметрические подгруппы являются её геодезическими.
3. Существуют элементы группы $SL_2(R)$, не лежащие ни на одной однопараметрической подгруппе.
4. Следовательно, эти элементы не соединяются геодезическими с единицей группы.