Вещественно замкнутые поля

[rishelie]

Я правильно понимаю ван дер Вардена (Алгебра, стр. 293, Теорема 8а), что если уж существует единственное с точностью до изоморфизма вещественно замкнутое расширение поля Q, то
1. оно счетное (это поле всех вещественных алгебраических чисел?)
2. все счетные вещественно замкнутые поля изоморфны (по операциям и порядку)
3. теория вещественно замкнутых полей категоричная в счетной мощности

Или я что-то упустил?

[george66]

Счётных вещественно замкнутых полей много. Добавляем к $Q$ сколько угодно каких угодно действительных чисел и замыкаем относительно операций:
1)квадратного корня из положительных чисел;
2)взятия вещественных корней многочленов нечётной степени;
3)сложения, вычитания, умножения, деления.
Эти поля не изоморфны (можно добавить, например, число $\pi$)
У ван дер Вардена не просто расширение, а алгебраическое расширение (поэтому число $\pi$ брать нельзя).

[rishelie]

А, ясно. В принципе любым трансцендентным расширяем - и получаем нечто новое.
Но неужели если квадратными корнями расширять Q, то будут изоморфные получаться?

[george66]

Про вещественно замкнутые поля я что-то знаю, потому что это классический пример теории моделей (аксиоматика первого порядка для вещественно замкнутых полей полна и разрешима), подробности где-то в книге Верещагина и Шеня "Теория моделей". Грубо говоря, все алгебраические свойства действительных чисел выводятся из того, что поле действительных чисел вещественно замкнуто.