Существование максимального идеала

[npetric]

Возможно, следующее утверждение неправильно, потому что в учебнике оно используется в более узком смысле (в кольце многочленов от бесконечного числа переменных)

Пусть $I \subset K$ -- идеал, $1 \not \in I$. Тогда существует максимальный идеал (возможно, тривиальный) $\overline{I} \supset I, 1 \not \in \overline{I}$

Доказательство:
Пусть $\lbrace I_\alpha \rbrace$ -- некоторая цепь идеалов: $1 \not \in I_\alpha; \quad I \subset I_\alpha; \quad \alpha' > \alpha \implies I_\alpha \subset I_{\alpha'}$
Тогда $I' = \cup I_\alpha$ -- верхняя грань цепи, $1 \not \in I'$, $I'$ -- идеал

По лемме Цорна существует максимальный элемент, являющийся искомым идеалом.

Верно?
Есть какие-нибудь очевидные способы доказательства без использования леммы Цорна?

[Xaositect]

npetric в сообщении #1328991 писал(а):

Есть какие-нибудь очевидные способы доказательства без использования леммы Цорна?

Без леммы Цорна не получится, существование максимального идеала эквивалентно аксиоме выбора.

[npetric]

Ясно, спасибо!

-- 26.07.2018, 18:55 --

Всё-таки очень неполное доказательство -- про существование верхней грани очень неочевидно. Буду думать, как залатать

-- 26.07.2018, 18:58 --

Нет, подумал ещё раз -- всё нормально.

Берём $\overline{\alpha} = max(\alpha, \alpha')$, которое существует в силу линейной упорядоченности цепи, и рассматриваем $I_\overline{\alpha} $, чтобы доказать, что $\overline{I}$ -- кольцо

[Xaositect]

npetric в сообщении #1328994 писал(а):

Всё-таки дырка в доказательстве. В существовании верхней грани. Буду думать, как её залатать

Не вижу дырки.

-- Чт июл 26, 2018 17:04:38 --

npetric в сообщении #1328994 писал(а):

Нет, подумал ещё раз -- всё нормально.

Берём $\overline{\alpha} = max(\alpha, \alpha')$, которое существует в силу линейной упорядоченности цепи, и рассматриваем $I_\overline{\alpha} $, чтобы доказать, что $\overline{I}$ -- кольцо

Угу. Это, я так понимаю, для суммы $x + x'$, где $x \in \alpha$, $x' \in \alpha'$

[npetric]

Xaositect в сообщении #1328997 писал(а):

npetric в сообщении #1328994 писал(а):

Нет, подумал ещё раз -- всё нормально.

Берём $\overline{\alpha} = max(\alpha, \alpha')$, которое существует в силу линейной упорядоченности цепи, и рассматриваем $I_\overline{\alpha} $, чтобы доказать, что $\overline{I}$ -- кольцо

Угу. Это, я так понимаю, для суммы $x + x'$, где $x \in \alpha$, $x' \in \alpha'$

Да, и для $x' x$

А можно доказать существование нетривиального максимального идеала в кольцах без единицы?

-- 26.07.2018, 19:17 --

npetric в сообщении #1328991 писал(а):

Пусть $\lbrace I_\alpha \rbrace$ -- некоторая цепь идеалов: $1 \not \in I_\alpha; \quad I \subset I_\alpha; \quad \alpha' > \alpha \implies I_\alpha \subset I_{\alpha'}$

И раз уж хотим линейный порядок на $\{\alpha\}$, то лучше говорить $\alpha' > \alpha \iff I_\alpha \subset I_{\alpha'}$

[vpb]

npetric в сообщении #1328999 писал(а):

А можно доказать существование нетривиального максимального идеала в кольцах без единицы?

Нет. Заметьте, что любую абелеву группу можно рассматривать как кольцо, если считать, что умножение нулевое. Тогда идеалы --- в точности подгруппы. А есть абелевы группы без собственных максимальных подгрупп. Скажем, группа всех комплексных корней из единицы степеней $p^k$, где $p$ --- фиксированное простое, а $k$ --- всевозможные неотрицательные целые.

[npetric]

Да, действительно. Спасибо!