2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 дважды дифференцируемая функция Зорич V.3.9а
Сообщение26.07.2018, 13:58 


23/04/18
143
Задача следующая:
Дано, что $f$ - дважды дифференцируемая на отрезке $I=[-a,a]$ функция.
$M_0=\sup\limits_{x\in I}\left\lvert f(x) \right\rvert$, $M_1=\sup\limits_{x\in I}\left\lvert f'(x) \right\rvert$, $M_2=\sup\limits_{x\in I}\left\lvert f''(x) \right\rvert$
Нужно доказать, что всюду на $I$ выполнено соотношение: $\left\lvert f'(x) \right\rvert\leqslant\frac{M_0}{a}+\frac{x^2+a^2}{2a}\cdot M_2$
В голову пока приходит только одна идея (которая однако пока ни к чему не приводит):
использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f''(\xi_1)\cdot \frac{(x-x_0)^2}{2}$
$f'(x)=f'(x_0)+f''(\xi_2)\cdot (x-x_0)$
в частности, например:
$f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(\xi_1)\cdot \frac{x^2}{2}$
$f'(x)=f'(0)+f''(\xi_2)\cdot x$
где $\xi_1$ и $\xi_2$ - величины, зависимые от точек $x_0$ и $x$ и лежащие внутри интервала с концами в этих точках.
Отсюда можно вывести например, что для решения задачи достаточно доказать, что $M_2\cdot \frac{a}{2}\geqslant\left\lvert f'(x)\right\rvert - \left\lvert \frac{f(x)}{a}-\frac{f'(0)\cdot x}{a}\right\rvert$
Что с этим делать не знаю, видимо нужен какой-то другой подход к этой задаче, который я однако пока никак не могу понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: дважды дифференцируемая функция Зорич V.3.9а
Сообщение29.07.2018, 09:55 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Paul Ivanov в сообщении #1328918 писал(а):
ользовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f''(\xi_1)\cdot \frac{(x-x_0)^2}{2}$

напишем эту формулу еще раз $f(-x)=f(x_0)+f'(x_0)(-x-x_0)+f''(\xi_2)\cdot \frac{(-x-x_0)^2}{2}$
вычтете из первого равенства второе, выразите $f'(x_0)$ и подставьте $x=a$

 Профиль  
                  
 
 Re: дважды дифференцируемая функция Зорич V.3.9а
Сообщение29.07.2018, 17:11 


23/04/18
143
Цитата:
Цитата:
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f''(\xi_1)\cdot \frac{(x-x_0)^2}{2}$

напишем эту формулу еще раз $f(-x)=f(x_0)+f'(x_0)(-x-x_0)+f''(\xi_2)\cdot \frac{(-x-x_0)^2}{2}$
вычтете из первого равенства второе, выразите $f'(x_0)$ и подставьте $x=a$


Да, тогда всё, пусть не с ходу, но получается)))
Спасибо!!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group