Закон сохранения момента импульса системы

[Eugeniy_Sazonov]

Всем доброго времени суток.
Вопрос касается вывода формулы закона сохранения момента импульса системы точек.
При выводе уравнения Закона сохранения момента импульса для системы материальных точек относительно неподвижной точки (начала координат), лежащей на оси вращения получил следующее (используя мнемоническое правило БАЦ минус ЦАБ):

$$\vec{L}=\sum_i^N\vec{L}_i = \sum_i^N \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \sum_i^N [\vec{r}_i \times [\vec{\omega} \times \vec{r}_i]] = \sum_i^N m_i (\vec{\omega}\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{r}_i)-\vec{r}_i\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{\omega})) $$

где $\vec{r}_i$ - это радиус-вектор, проведенный от неподвижной точки, находящейся на оси вращения к точке с индексом $i$.
Скорость изменения вектора $\vec{L}_i$ равна сумме равнодействующих моментов внешних сил приложенных к системе:

$$\sum_i^N\frac{d\vec{L}_i}{dt} =\sum_i^N M_i $$

Интересное начинается, когда я беру производную:

$$\sum_i^N\frac{d\vec{L}_i}{dt} = \sum_i^Nm_i(\frac{d \vec{\omega}}{dt} \cdot r_i^2+2\vec{\omega}(\vec{r}_i \cdot \vec{v}_i)- \vec{v}_i\cdot (\vec{r}_i \cdot \vec{\omega})-\vec{r}_i \cdot (\vec{v}_i \cdot \vec{\omega})-\vec{r}_i \cdot (\vec{r}_i \cdot \frac{d\vec{\omega}}{dt})) $$

Учитывая что $\vec{r}_i \cdot (\vec{v}_i \cdot \vec{\omega}) = 0$ в силу $\vec{v}_i \perp \vec{\omega}$ и $2\vec{\omega}(\vec{r}_i \cdot \vec{v}_i) = 0$ в силу $\vec{v}_i \perp \vec{r}_i$ получим:

$$\sum_i^N\frac{d\vec{L}_i}{dt} = \sum_i^Nm_i(\frac{d \vec{\omega}}{dt} \cdot r_i^2 - \vec{v}_i\cdot (\vec{r}_i \cdot \vec{\omega})-\vec{r}_i \cdot (\vec{r}_i \cdot \frac{d\vec{\omega}}{dt})) $$

А обычно во всех учебниках приводят формулу, отличную от полученной:

$$\sum_i^N\frac{d\vec{L}_i}{dt} = \sum_i^Nm_i r_i^2\frac{d \vec{\omega}}{dt} $$

.

У меня два вопроса:
1) Почему результаты отличаются? Допустил ли я где нибудь ошибку в рассуждениях?
2) Будут ли коллинеарны вектора $\vec{\omega}$ и $\frac{d \vec{\omega}}{dt}$

-- 26.07.2018, 12:29 --

[pogulyat_vyshel]

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

хранения момента импульса для материальной точки получил относительно неподвижной точки получил следующее (используя мнемоническое правило БАЦ минус ЦАБ):

$$\vec{dL} = \vec{r} \otimes \vec{p} = m[\vec{r} \otimes [\vec{\omega} \otimes \vec{r}]] = m (\vec{\omega}\cdot(\vec{r} \cdot \vec{r})-\vec{r}\cdot(\vec{r} \cdot \vec{\omega})) $$

Векторное произведение, тензорное произведение. Что за ахинея? Учебник откройте.

-- 26.07.2018, 13:21 --

Откуда-то еще угловая скорость появилась для одной единственной материальной точки.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- проверьте текст (и заголовок) на предмет согласования падежей, повторов и т.п.;
- смените обозначения на общепринятые или расшифруйте используемые нестандартные.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[pogulyat_vyshel]

Угловая скорость бывает только у твердого тела, у материальной точки или произвольной системы материальных точек угловой скорости не бывает.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

При выводе уравнения Закона сохранения момента импульса для системы материальных точек относительно неподвижной точки (начала координат), лежащей на оси вращения

на оси вращения чего?

[Munin]

Ну вы ещё скажите, что не бывает угловой скорости обращения Земли вокруг Солнца.

[Eugeniy_Sazonov]

pogulyat_vyshel в сообщении #1329079 писал(а):

Угловая скорость бывает только у твердого тела, у материальной точки или произвольной системы материальных точек угловой скорости не бывает.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

При выводе уравнения Закона сохранения момента импульса для системы материальных точек относительно неподвижной точки (начала координат), лежащей на оси вращения

на оси вращения чего?

Вы, к сожалению, не правы.

Форумчане, что скажете, ответ в выводе формулы корректен?

[realeugene]

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

$$\vec{L}=\sum_i^N\vec{L}_i = \sum_i^N \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \sum_i^N [\vec{r}_i \times [\vec{\omega} \times \vec{r}_i]] = \sum_i^N m_i (\vec{\omega}\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{r}_i)-\vec{r}_i\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{\omega})) $$

Почему у вас $\omega$ не имеет индекса точки? Напишите, пожалуйста, определение используемого вами понятия.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

$$\sum_i^N\frac{d\vec{L}_i}{dt} =\sum_i^N M_i $$

Если вы обозначаете вектора стрелочками, не теряйте их, пожалуйста, по ходу выкладок.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

Интересное начинается, когда я беру производную:

Вы опустили какие-то промежуточные шаги.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

А обычно во всех учебниках приводят формулу, отличную от полученной:

$$\sum_i^N\frac{d\vec{L}_i}{dt} = \sum_i^Nm_i r_i^2\frac{d \vec{\omega}}{dt} $$

И где же тут тензор моментов инерции?

Если хотите разобраться в своих выкладках, распишите их мелкими шагами, обращая внимание на формальную корректность обозначений. Любая некорректность есть признак ошибки: либо опечатки, либо неправильного вашего понимания ваших выкладок.

[Munin]

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

$$\vec{L}=\sum_i^N\vec{L}_i = \sum_i^N \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \sum_i^N [\vec{r}_i \times [\vec{\omega} \times \vec{r}_i]] = \sum_i^N m_i (\vec{\omega}\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{r}_i)-\vec{r}_i\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{\omega})) $$

Пока здесь не было знака суммы, эта формула была правильней. В ней последнее слагаемое тоже равно нулю. И в последующих выкладках намного меньше слагаемых.

[Eugeniy_Sazonov]

Спасибо Munin и realeugene.

Munin в сообщении #1329095 писал(а):

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

$$\vec{L}=\sum_i^N\vec{L}_i = \sum_i^N \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \sum_i^N [\vec{r}_i \times [\vec{\omega} \times \vec{r}_i]] = \sum_i^N m_i (\vec{\omega}\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{r}_i)-\vec{r}_i\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{\omega})) $$

Пока здесь не было знака суммы, эта формула была правильней. В ней последнее слагаемое тоже равно нулю.

Не понимаю, почему последнее слагаемое равно нулю? Там ведь ненулевой вектор умножается на ненулевой скаляр.

realeugene в сообщении #1329087 писал(а):

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

$$\vec{L}=\sum_i^N\vec{L}_i = \sum_i^N \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \sum_i^N [\vec{r}_i \times [\vec{\omega} \times \vec{r}_i]] = \sum_i^N m_i (\vec{\omega}\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{r}_i)-\vec{r}_i\cdot(\vec{r}_i \cdot \vec{\omega})) $$

Почему у вас $\omega$ не имеет индекса точки? Напишите, пожалуйста, определение используемого вами понятия.
$\omega$ - псевдо вектор угловой скорости для системы точек, которые не меняют расстояния друг с другом (абстракция твердого тела).

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

$$\sum_i^N\frac{d\vec{L}_i}{dt} =\sum_i^N M_i $$

Если вы обозначаете вектора стрелочками, не теряйте их, пожалуйста, по ходу выкладок.

хорошо

Munin в сообщении #1329095 писал(а):

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1328883 писал(а):

А обычно во всех учебниках приводят формулу, отличную от полученной:

$$\sum_i^N\frac{d\vec{L}_i}{dt} = \sum_i^Nm_i r_i^2\frac{d \vec{\omega}}{dt} $$

И где же тут тензор моментов инерции?

Так, вот может быть в этом и дело. А тензор должен был появиться? я этого не уловил, если честно.

Вообще, я в Сивухине (Общий курс физики. Механика) нашел вывод (параграф 46). Различия оказались в том, что выражение для вектора скорости вводится совершенно другое: $\vec{\omega} r^2_\perp=\vec{r}_\perp\times \vec{v}$. В этом все дело и было. Покуда так - то вывод оказывается корректным.

[realeugene]

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1329120 писал(а):

А тензор должен был появиться? я этого не уловил, если честно.

Ну а как же без него в твёрдом теле появится различие направлений векторов угловой скорости и момента импульса?

[pogulyat_vyshel]

В цивилизованной версии весь этот маловменяемый сумбур мог бы выглядеть примерно так. Имеется твердое тело с неподвижной точкой $O$. Теорема об изменении кинетического момента относительно этой точки имеет вид $J_O\boldsymbol{\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol \omega]=\boldsymbol M_O.$ (Выводить само это уравнение, студентам не знающим кинематики, вряд ли целесообразно.)
Если дополнительно предположить, что твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с единичным направляющим вектором $\boldsymbol e: \quad \boldsymbol\omega=\omega\boldsymbol e$, то домножая скалярно левую и правую часть уравнения на $\boldsymbol e$ ,получаем
$J_e\dot\omega=M_e$, где $J_e=(\boldsymbol e,J_O\boldsymbol e)$ -- момент инерции твердого тела относительно оси; $M_e=(\boldsymbol M_O,\boldsymbol e)$ -- момент сил, действующих на твердое тело относительно оси.

[rustot]

С переходом к угловой скорости вы натворили что то мудреное. Вы же потеряли часть информации о движении, заменив линейную скорость на угловую и как следствие возможность воспользоваться вторым законом ньютона для завершения вывода. Там все просто на самом деле:

$\frac{d}{dt}\vec{L} = \frac{d}{dt}(\vec{r}\times(m\vec{v})) = \vec{v}\times(m\vec{v}) + \vec{r}\times(m\vec{a}) = \vec{r}\times(m\vec{a}) = \vec{r}\times\vec{F} = \vec{M}$