Про числа вида 3k^2+6k+5

[daniel starodubtsev]

У меня появилась гипотеза, что все числа вида $3k^2+6k+5$, то есть числа являющееся суммой трех последовательных квадратов все недостаточные. Тут фокус в том, что числа такого вида не могут, например, делиться на три или четыре, да и вообще количество делителей у них сильно ограничено (относительно самого числа конечно). Семь простых делителей и то с трудом находятся, если программу не писать.

[grizzly]

daniel starodubtsev в сообщении #1328577 писал(а):

Семь простых делителей и то с трудом находятся, если программу не писать.

Для ленивых писать программы (как я, например) есть OEIS. Заходите туда, находите обе последовательности и смотрите первое число, которое является суммой трёх последовательных квадратов, но не является недостаточным -- 770. Там их ещё есть.

[daniel starodubtsev]

Спасибо
Может быть есть какой-то вариант усиления гипотезы?
Все-таки количество делителей действительно небольшое.

[Aritaborian]

Если ленишься писать программы, хорошо иметь под рукой инструмент, позволяющий не писать программы, а формулировать задачи. Такой, как Wolfram Mathematica, например.

Select[Table[3 k^2 + 6 k + 5, {k, 1, 200}], (DivisorSigma[1, #] - # > #) &]

Out[] = {770, 2030, 5810, 8750, 22190, 27650, 32450, 38990, 46130, 73010, 82670, 101570, 112910}

(В OEIS, кстати, нет. В топик призывается уважаемый maxal; почему бы не включить;-)

[grizzly]

daniel starodubtsev в сообщении #1328582 писал(а):

Может быть есть какой-то вариант усиления гипотезы?

Вот, пожалуйста:
Если сумма трёх последовательных квадратов не является недостаточным числом, тогда она кратна 10. Если это число разделить на 2 или на 10 (но не на 5 (!)), оно тоже будет недостаточным.

[maxal]

Это также числа вида $3k^2+2$. Зачем усложнять вид?

[Aritaborian]

maxal, звиняйте, я действовал тупо в лоб.

[grizzly]

Избыточные числа в последовательности $3k^2+2$ распределены удивительно равномерно -- где-то от 660 до 670 чисел на каждые 10 000. Но не настолько равномерно, кажется, чтобы надеяться на какую-то простую периодическую зависимость. Любопытно всё это.

-- 25.07.2018, 00:23 --

daniel starodubtsev в сообщении #1328582 писал(а):

Может быть есть какой-то вариант усиления гипотезы?

Можно ещё не такие романтичные формулы брать, а просто что-то типа $9k^2+2, 11k^2+2, ...$, для которых все значения, на первый взгляд, являются недостаточными числами. Скорее всего, здесь есть какое-то простое объяснение, но я его пока не вижу.

[daniel starodubtsev]

А есть ли среди них весьма избыточные числа? При ближайшем рассмотрении ( проверил до 100000) не нашлось.

[grizzly]

daniel starodubtsev в сообщении #1328652 писал(а):

А есть ли среди них весьма избыточные числа?

Можете не сомневаться, что нет. Ведь среди них нет чисел, делящихся на 3 или 4, а там, судя по всему, все такие.

daniel starodubtsev в сообщении #1328652 писал(а):

проверил до 100000

Это слишком маленький диапазон для проверки. Я думаю, что если взять хотя бы на 10 (а лучше на 100 :) порядков больше, не выживет ни одна из моих гипотез выше. (Ваша последняя выживет, конечно.)

[daniel starodubtsev]

Понятно, что маленький. Я же написал : " при ближайшем рассмотрении ".