Проинтегрировать дифференциальное уравнение

[pogulyat_vyshel]

Проинтегрировать систему с лагранжианом

$$L(t,x,\dot x)=\frac{1}{2}\dot x^2-\frac{t}{x^4}$$

[pogulyat_vyshel]

подсказка

(Оффтоп)

Функционал "Действие" инвариантен относительно следующей группы Нетер $x\mapsto e^sx,\quad t\mapsto e^{2s}t,\quad s\in\mathbb{R}$

[scwec]

Итого: первый интеграл системы $I=-t{\dot x}^2+\frac{2t^2}{x^4}+x\dot x$

[pogulyat_vyshel]

да, но первый интеграл сам по себе систему вида $\ddot x=f(t,x)$ проинтегрировать не позволяет. Грубо говоря, Олвер с Овсянниковым тут уже отдыхают, из общего группового анализа результат не следует. Прелесть в том, что система лагранжева: можно перейти, как мы раньше обсуждали, к автономной лагранжевой системе с двумя степенями свободы, ввести в ней новые координаты так, чтобы нетеров интеграл стал циклическим и понизить порядок по Раусу до автономной системы с одной степенью свободы.

-- 24.07.2018, 12:20 --

или воспользоваться теоремой Лиувилля для гамильтоновых систем с инволютивным набром интегралов

[scwec]

Или интегрировать векторное поле с нулевой дивергенцией и имеющимся первым интегралом в $\mathbb{R}^3$ на каждой поверхности уровня этого интеграла, используя последний множитель Якоби.