Неравенство 24(без калькулятора)

[TR63]

Для положительных рациональных $(y;z)$ и $y+z=2$, $1\le y<2$, $0<z\le1$ найдите без калькулятора $k$ такое, что при $y\le k$ верно неравенство:

$$y^{\sqrt y}z^{\sqrt{\frac1 y}}\ge1$$

Перепишем неравенство в виде

$y^y(2-y)\ge1$

Сделаем замену переменных $y=\frac p q$, $y_1=y^{\frac1 q}$. Получим

$f=y_1^{p+q}-2y_1^p+1\le0$.

Здесь имеется только два (?) положительных корня. $f(y_1=1)=0$. Тогда подходит $k=(\frac p q)^{\frac1 q}\le(\frac3 2)^{\frac1 2}$, т.к. $f(y_1=(\frac3 2)^{\frac1 2})<0$, $f(y_1=\infty)>0$.
Если идея верна (?), то дальше возможна арифметика без калькулятора.

Вопрос: верны ли такие рассуждения?
(Надо перепроверить знак на бесконечности; возможно там знак другой.)

[VPro]

Легче доказать, что $y\ln y +\ln(2-y)$ равно 0 при $y=1$ и монотонно убывает на $(0,2]$

[TR63]

VPro, спасибо.
Похожая идея (с использованием производной) предлагалась для более слабого неравенства (в источнике). Но я её не поняла (даже не вникала). Поэтому хотелось обойтись без производной. Но здесь, возможно, будет действительно проще. (Интересно: усиление даёт упрощение.)