Детские вопросы по кольцам (евклидовы, частных и т.п.)

[Geen]

Если позволите, пока два вопроса:
Почему в евклидовых кольцах и кольцах частных требуется коммутативность (определения брал на вики, прошу прощения)?
Если я правильно понимаю, свойства кольца частных зависят от "выбранной" мультипликативной системы. В часности, при некоторых из них (при одном и том же "числителе") кольцо будет полем, а при других - нет. Есть ли какая либо классификация об этом (то есть из каких колец, подходящим выбором мультипликативной системы можно "соорудить" поле)? Есть ли какие-то утверждения о самих мультипликативных системах, позволяющих сделать поле?

[nya]

Евклидовы обобщить на некоммутативный случай ничто не мешает. Локализацию мешает обобщить та проблема, что не каждый элемент теперь будет представим в виде "левой дроби" ($as^{-1}$) если наложить дополнительно условие чтобы каждый элемент так представлялся (левое условие Оре) то можно локализовать и некоммутативные кольца и даже категории (производная категория, собственно, определяется как локализация по некоторой мультипликативной системе). Локализация по минимальному простому идеалу - это поле. Так как любое кольцо имеет минимальный простой идеал, то любое коммутативное кольцо можно сделать полем посредством локализации по нему.

[Geen]

nya
Спасибо!
Не могли бы Вы только чуть подробнее написать о

nya в сообщении #1327758 писал(а):

не каждый элемент теперь будет представим в виде "левой дроби"

?

[nya]

Конкретный пример разбирать лень, но у строки $a s_1^{-1} b s_2^{-1}$ априори нету никаких причин представлятся в виде $c s_3^{-1}$ если мы не умеем каким-то образом представлять $s_1^{-1} b$ в виде $b' s_1'^{-1}$ - а умение это делать, это и есть условия Оре.

-- 20.07.2018, 03:02 --

Я всё же не очень корректно выразился, локализовать можно-то всегда, но не любой элемент будет представим в виде дроби, а будет представим, априори, только в виде большой строки $a_1 s_1^{-1} a_2 s_2^{-1} a_3 s_3^{-1} ...$

[Geen]

nya в сообщении #1327764 писал(а):

у строки $a s_1^{-1} b s_2^{-1}$ априори нету никаких причин представлятся в виде $c s_3^{-1}$

Так если я правильно понимаю, "числители" и "знаменатели" перемножаются отдельно?

[nya]

В коммутативном случае можно об этом так думать потому что всё коммутативно. В некоммутативном такую конструкцию, теоретически, наверное тоже соорудить можно, в ней, скажем, все элементы из мультипликативного множества будут коммутировать со всеми элементами из кольца, но универсальное свойство локализации показывает, что это неправильная конструкция, а правильная именно просто формально добавить все $s^{-1}$ и не налагать никаких дополнительных условий коммутативности.

[Geen]

nya в сообщении #1327767 писал(а):

В коммутативном случае можно об этом так думать потому что всё коммутативно.

Да, всё, я понял где я заблуждался. Спасибо!
Но про условия Оре я ещё почитаю - скорее всего опять будут вопросы