Демидович. Предел последовательности.

[Ivan_B]

74. б) Доказать $1+\alpha<e^\alpha$, где $\alpha$ - вещественное число, отличное от $0$.

Из $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e$ получается $1+\frac{m}{n}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^m<e^{\frac{m}{n}}$
То есть доказать получается для любого положительного рационального числа.
Подскажите, пожалуйста, что делать дальше.

[teleglaz]

1. В этом номере есть ещё буква а), результаты которой могут натолкнуть на мысль. (В моей версии Демидовича, по крайней мере, это так).
2. Следует отметить, что при $\alpha\leqslant-1$, неравенство очевидно.

[vpb]

В случае положительных рациональных чисел это рассуждение, конечно, правильное. Случай произвольных положительных чисел легко сводится (подумайте, как) к рациональным, используя то, что (а) $e^x$ возрастает, и (б) ${\mathbb Q}$ плотно в ${\mathbb R}$ (по простому, на любом интервале лежит рацилнальное число) . Случай отрицательных чисел выводится из положительных.

(Исправление. Утверждение, что отрицательный случай сводится к положительному, было ошибочным. )

[Ivan_B]

teleglaz в сообщении #1327444 писал(а):

1. В этом номере есть ещё буква а), результаты которой могут натолкнуть на мысль.

Версия а) получается логарифмированием $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e$ и $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>e$ или есть другое решение?

-- 18.07.2018, 17:19 --

vpb в сообщении #1327445 писал(а):

Случай произвольных положительных чисел легко сводится (подумайте, как) к рациональным, используя то, что (а) $e^x$ возрастает, и (б) ${\mathbb Q}$ плотно в ${\mathbb R}$

Про прием этот знаю, нужно "зажать" иррациональное число между рациональными. Но тут его применить пока не получилось. Буду думать дальше.

[teleglaz]

Ivan_B в сообщении #1327446 писал(а):

есть другое решение?

Может и есть, но оно не нужно. Я говорил про результат, то есть про само неравенство в пункте а).

Ivan_B в сообщении #1327446 писал(а):

нужно "зажать" иррациональное число между рациональными

Тепло.

[Ivan_B]

У меня получилось следующее:
$\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]}<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<\left(1+\frac{1}{[x]}\right)^{[x]+1}$
$\frac{1}{\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)}\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]+1}<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<\left(1+\frac{1}{[x]}\right)\left(1+\frac{1}{[x]}\right)^{[x]}$
Дальше перейти к пределу при $x\to+\infty$ и получить $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$

Затем вычислить для $\alpha>0$(используя непрерывность показательной функции) $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n=\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{\frac{n}{\alpha}}\right)^\alpha=e^\alpha$

Раскрыть скобки $\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n=1+\alpha+\frac{\alpha^2}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\dots+\frac{\alpha^n}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)$, полученное выражение при росте $n$ возрастает, откуда $\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n<e^\alpha$

Тогда $1+\alpha<\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n<e^\alpha$
Остается доказать неравенство для $\alpha<0$

[pogulyat_vyshel]

Ivan_B в сообщении #1327436 писал(а):

74. б) Доказать $1+\alpha<e^\alpha$, где $\alpha$ - вещественное число, отличное от $0$.

Из $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e$ получается $1+\frac{m}{n}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^m<e^{\frac{m}{n}}$
То есть доказать получается для любого положительного рационального числа.
Подскажите, пожалуйста, что делать дальше.

Это все пустое. Нужно просто выучить нормальное определение показательной функции.
Например так: показательной функцией называется функция обратная к функции логарифм, которая в свою очередь определяется следующим образом

$$\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t},\quad x>0$$

Этому даже в физматшколах учат, в учебнике Виленкина есть, например

[Ivan_B]

pogulyat_vyshel в сообщении #1327682 писал(а):

Это все пустое. Нужно просто выучить нормальное определение показательной функции.

Раз так, иду дальше. Спасибо за совет!

vpb
Скорее всего, мне это упражнение не по зубам. Я на него потратил слишком много времени. Если Вы считаете, что это упражнение лучше дорешать, дайте знать.

[grizzly]

Ivan_B
Мне кажется, что-то не так идёт в Вашей подготовке. Вот в этой задаче Вы всё раскручиваете, начиная с определения числа $e$ (с натуральными числами), а ведь в задачнике чуть выше уже была задача 71 (правда я смотрю другое издание, в котором обсуждаемая задача 74 стоит под номером 75), в которой нужные пределы для числа $e$ были с последовательностями вещественных чисел (и положительных, и отрицательных). И здесь уже можно (и нужно) было этим воспользоваться.

Если Вы думаете, что лучше решать каждую задачу с азов, то это серьёзная ошибка. Наоборот, нужно максимально стремиться использовать уже решённые ранее задачи. Это со временем научит Вас искусству разбивать задачу на подзадачи.

Как бы там ни было, отрицательный случай здесь решается полностью аналогично положительному и этот пробел Вам нужно ликвидировать. Я бы предложил вместо чтоб двигаться дальше вернуться к задаче 71 (у Вас это номер 70, наверное).

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1327704 писал(а):

Как бы там ни было, отрицательный случай здесь решается полностью аналогично положительному

Нужна подсказка.

71. (для отрицательных) решается так
Заменить $q_n=-x_n,\quad x_n>0$
$\left(1-\frac{1}{x_n}\right)^{-x_n}=\left(\frac{x_n-1}{x_n}\right)^{-x_n}=\left(\frac{x_n}{x_n-1}\right)^{x_n}$$=\left(\frac{x_n}{x_n-1}-1+1\right)^{x_n}=\left(\frac{1}{x_n-1}+1\right)^{x_n}=\left(\frac{1}{x_n-1}+1\right)\left(\frac{1}{x_n-1}+1\right)^{x_n-1}$
Использовать "положительный" случай.

-- 19.07.2018, 23:09 --

Как этим можно воспользоваться идей нет.

-- 19.07.2018, 23:12 --

grizzly в сообщении #1327704 писал(а):

нужно максимально стремиться использовать уже решённые ранее задачи.

Я стараюсь так делать, но в этот раз у меня не получилось.

-- 19.07.2018, 23:22 --

Существование предела дает $e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e+\varepsilon$, а мне нужно $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e$

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1327711 писал(а):

Нужна подсказка.

Вы бы сказали, с какого места подсказка нужна.

Давайте я процитирую часть Вашего решения выше, сделав небольшие изменения, а Вы скажете, где у Вас заминка.

1) Затем вычислить для $\alpha\in (-1;0)$ (используя непрерывность показательной функции) $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n=\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{\frac{n}{\alpha}}\right)^\alpha=e^\alpha$.

2) Раскрыть скобки $\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n=1+\alpha+\frac{\alpha^2}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\dots+\frac{\alpha^n}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)$, доказать, что выражение справа больше, чем $1+\alpha$.
(может, здесь главная заминка? присмотритесь внимательно к этому выражению)

3) Тогда $1+\alpha<\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n<e^\alpha$. Второе неравенство можно получить из тех же раскрытых скобок, рассматривая, например, только чётные $n$ или группируя слагаемые (отрицательные с положительными).

В общем, посмотрите и скажите, где заминка, чтоб я лишнего не думал :)

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1327721 писал(а):

может, здесь главная заминка?

Да. Из-за отрицательных $\alpha$ не получается доказать возрастание и отбросить хвост, чтобы получилось $1+\alpha<\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n$

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1327726 писал(а):

Из-за отрицательных $\alpha$ не получается доказать возрастание и отбросить хвост, чтобы получилось

А то, что каждое следующее слагаемое в раскрытых скобках меньше, чем предыдущее (upd. по модулю), это видно? Можете их сгруппировать по 2 подряд (большее положительное с меньшим отрицательным, начиная с квадрата)? В конце или ничего не останется, или останется положительное.

[Ivan_B]

Теперь понятно.
Спасибо Вам огромное!

[grizzly]

Ivan_B
В п.3 второе неравенство я до конца не додумывал, но надеюсь, что должно получиться (я то помню, что и в отрицательном случае эта последовательность строго возрастает, но здесь нам нужно даже чуть меньше).

Ivan_B в сообщении #1327697 писал(а):

Я на него потратил слишком много времени.

Если замечаете, что задача занимает слишком много времени, отвлекайтесь от этой задачи. Немного отдохните и пытайтесь решить следующую или вообще другую. Через пару задач вернётесь к старой. Во-первых, это в любом случае эффективнее. А во-вторых, всё равно рано или поздно попадутся задачи, которые совсем не удастся решить. Это не повод больше ничего не делать :)