Линейная зависимость на участке нелинейной функции

[Jendose]

Существует ли нелинейная функция, которая на отдельном участке линейна? Естественно, если она не составлена из нескольких кусков. Если нет, то как это доказать?

[pogulyat_vyshel]

а что значит "составлена из нескольких кусков"?

[Jendose]

pogulyat_vyshel Кусочно-заданная функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой. (С) Википедия

Т.е., естественно, функция должна быть задана одной формулой. Есть ли такая функция, график которой на одних участках имеет нелинейную зависимость, а на других – линеен? Если нет, то как доказать это? Вроде ясно сформулировал

[pogulyat_vyshel]

а что значит "одной формулой"? Вот определим функцию так $y=x^2$ при $x\ge 0$ и $y=0$ при $x<0$. Назовем эту функцию Jendose. Извольте, функция определена одной формулой $y=Jendose(x)$. Уcтраивает? Или вот еще $y=\max\{0,x^3\}$. Нравится?

[EUgeneUS]

Jendose

Функция, заданная "одной формулой", которая на одной полуоси линейная (равна нулю), а на второй - кусок параболы.
$y = x^2 (e^{\frac{|x|}{x}+1}-1)$

Функция, заданная "одной формулой", но состоящая из двух кусков (разрывная):

$y = \frac{1}{x}$

Функция, заданная "одной формулой", но состоящая из двух кусков (имеет точку излома):
$y = |x|$

А Вам что нужно?

[pogulyat_vyshel]

Jendose в сообщении #1327211 писал(а):

Кусочно-заданная функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой. (С) Википедия

русскоязычную википедию по большей части пишут такие же школьники и студенты как и вы, и знают они не больше вас

[wrest]

Jendose в сообщении #1327208 писал(а):

Существует ли нелинейная функция, которая на отдельном участке линейна? Естественно, если она не составлена из нескольких кусков. Если нет, то как это доказать?

Из конечного числа "обычных" (еще их называют "элементарные") функций типа $x^2$; $\sin x$ и подобных, без всяких там условий и модулей или экзотических конструкций типа $\sqrt{x^2}$ наверное то что вы хотите не выйдет.

Но вот из бесконечного количества синусов можно составить практически что угодно (непрерывное).

[Legioner93]

Какой скучный вопрос. Вот немного поинтереснее:

Jendose в сообщении #1327208 писал(а):

Существует ли нелинейная функция, которая на отдельном участке линейная,

и про этом бесконечно гладкая на всей области определения?

[vpb]

Возможно, ТС имеет в виду "элементарную" функцию, которая составлена из степенных, показательных, логарифмов, тригонометрических и обратных тригонометрических с помощью операций суперпозиции и арифметических действий.
Тогда ответ --- не существует. Доказательство примерно такое: элементарную функцию можно определить и на комплексной плоскости, правда, при этом (а) она будет определена не везде, и (б) она будет, вообще говоря, многозначной ("аналитическая функция"). Тем не менее, поскольку она на целом отрезке действительной прямой совпадает с линейной функцией, то она по аналитическому продолжению и теореме единственности должна совпадать с той же линейной функцией всюду, т.е. это линейная функция. В общем, ТС, если хотите подробнее разобраться --- учите комплексный анализ (а до того обычный матан).

[Mikhail_K]

vpb в сообщении #1327251 писал(а):

Возможно, ТС имеет в виду "элементарную" функцию, которая составлена из степенных, показательных, логарифмов, тригонометрических и обратных тригонометрических с помощью операций суперпозиции и арифметических действий.

$f(x)=\sqrt{x^2}$ уже упоминалась.

[vpb]

Да, не заметил про $\sqrt{x^2}$ (невнимательность...). В этой связи, уместно упомянуть такой результат (где-то на форуме он упоминался): не существует (в смысле, в принципе невозможен) алгоритма, который по данной формуле, выражающей элементарную функцию, устанавливал бы, является ли она тождественно равной нулю, однако при условии, что модуль считается элементарной функцией.

-- 18.07.2018, 15:21 --

К. Прутков писал(а):

Во всех частях света есть свои, иногда очень занимательные, другие части.

[Dmitriy40]

Вот даже проще функция:

Dmitriy40 писал(а):

$f(x)=x^2-x\sqrt{x^2}$, слева от нуля функция плавно подходит к оси и продолжается константой справа от нуля.

Вроде бы даже везде бесконечно гладкая. (стормозил)

[Mikhail_K]

Dmitriy40 в сообщении #1327457 писал(а):

Вроде бы даже везде бесконечно гладкая.

Ну уж это нет. Посчитайте производные.

[mihaild]

Dmitriy40 в сообщении #1327457 писал(а):

Вроде бы даже везде бесконечно гладкая.

Слева это парабола, так что вторая производная слева от нуля $2$, а справа $0$.
(можно домножить на $e^\frac{1}{x^2}$, тогда получится гладкая)

[Dmitriy40]

Да, про гладкость стормозил.