Бесконечная последовательность составных чисел

[Ktina]

Последовательность $\{a_n\}$ натуральных чисел определена следующим образом:

$$a_0\in\mathbb{N},\quad a_{n+1}=2a_n+1$$

Могут ли все члены этой последовательности являться составными числами?

Мне тут подсказали, что существуют числа, называемые числами Ризеля. Кажется, это даёт положительный ответ на вопрос задачи.
В принципе, после этой подсказки отпала и необходимость в самом вопросе. Так что прямо не знаю, что делать с этим счастьем...

[sa233091]

Как легко видеть, $a_n=2^n(a_0+1)-1$. Таким образом, задача сводится к следующей: существует ли такое натуральное $k$, что $2^nk-1$ составное для любого натурального $n$? Ответ на аналогичный вопрос для $2^nk+1$ утвердительный, соответствующие значения $k$ называются числами Серпинского. Скорее всего, тут ответ тоже утвердительный и можно просто предъявить значение $k$ и "покрывающее множество" $\{a_1,\dots,a_n\}$ такое, что при любом $n$, $a_i|2^nk-1$ для некоторого $i$. Значение $k$, вероятно, должно быть достаточно велико, по крайней мере, так дела обстоят с проблемой Серпинского.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.