2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Posted automatically
Сообщение12.07.2018, 15:01 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15095
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение12.07.2018, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2261
Москва
bayah в сообщении #1326188 писал(а):
а просто две монетки чтобы были независимые случайные величины
Приведите определение независимости случайных величин в терминах функций, пространств и мер. В частности, должны они быть определены на одном пространстве или нет?
bayah в сообщении #1326188 писал(а):
И затем перемножаю их
Как вы перемножаете функции с разными областями определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение12.07.2018, 16:11 


03/04/14
213
mihaild в сообщении #1326230 писал(а):
Приведите определение независимости случайных величин в терминах функций, пространств и мер. В частности, должны они быть определены на одном пространстве или нет?


Я могу привести такое определение.
Величины $X$ и $Y$ независимы если для них выполняется:
$P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(X=x)$
для всех $x \in X$ и $y \in Y$.

mihaild в сообщении #1326230 писал(а):
Как вы перемножаете функции с разными областями определения?

Почему с разными? С одной и той же областью определения $\Omega$

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение12.07.2018, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2261
Москва
bayah в сообщении #1326250 писал(а):
Величины
Определение случайной величины дать можете?
bayah в сообщении #1326250 писал(а):
Почему с разными?
Ну вы же пишете
bayah в сообщении #1326188 писал(а):
пространство каждой

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение13.07.2018, 11:12 


03/04/14
213
mihaild в сообщении #1326251 писал(а):
Определение случайной величины дать можете?

Случайная величина есть функция $f: \Omega \to \mathbb R$

mihaild в сообщении #1326251 писал(а):
Ну вы же пишете
bayah в сообщении #1326188

писал(а):
пространство каждой

Ну они же одинаковые эти пространства...

В общем, вы хотите сказать, что нужно так:
Если есть события бросания монеты на вероятностном пространстве $\Omega = \{0, 1\}$, и случайные величины $X(\Omega)$ - выпадение на первой монете и $Y(\Omega)$ - на второй, то определяя мат ожидание произведения таких величин как
$E(XY) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)Y(\omega)P(\omega)$
это заведомо определяет что величины зависимые (так как $X = Y$ при всех $\omega$ )?
Тогда чтобы это были независимые величины нужно определить вероятностное пространство например так:
$\Omega = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$ и случайные величины $X((i, j))=i$ и $Y((i, j))=j$.

Тогда это становится корректным равенством:
$E(XY) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)Y(\omega)P(\omega) = \sum\limits_{x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)}xyP(X = x, Y = y)$

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение13.07.2018, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2261
Москва
bayah в сообщении #1326429 писал(а):
это заведомо определяет что величины зависимые?
Да, любые две неконстантные случайные величины на двухэлементном вероятностном пространстве зависимы.
bayah в сообщении #1326429 писал(а):
Тогда это становится корректным равенством:
$E(XY) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)Y(\omega)P(\omega) = \sum\limits_{x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)}xyP(X = x, Y = y)$
Это равенство выполнено вообще всегда (для конечных вероятностных пространств).
bayah в сообщении #1326429 писал(а):
Ну они же одинаковые эти пространства...
А чтобы говорить о независимости, вам нужны не "одинаковые" пространства для величин, а одно и то же для обеих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение13.07.2018, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16025
Новомосковск
Если случайные величины $X$ и $Y$ определены не на одном и том же вероятностном пространстве, а на "одинаковых", то мы не можем использовать эти величины вместе из-за того, что у них разные области определения. В частности, мы не можем рассматривать величины $X+Y$ или $XY$, потому что, например, сумма функций $X+Y$ определяется как $(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)$, где $\omega$ во всех трёх случаях одно и то же, а не "одинаковые".

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение13.07.2018, 18:40 


03/04/14
213
mihaild в сообщении #1326498 писал(а):
А чтобы говорить о независимости, вам нужны не "одинаковые" пространства для величин, а одно и то же для обеих.

Someone в сообщении #1326505 писал(а):
Если случайные величины $X$ и $Y$ определены не на одном и том же вероятностном пространстве, а на "одинаковых", то мы не можем использовать эти величины вместе из-за того, что у них разные области определения.


Ну все, вроде дошло, спасибо).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group