2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Posted automatically
Сообщение12.07.2018, 15:01 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение12.07.2018, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2014
Москва
bayah в сообщении #1326188 писал(а):
а просто две монетки чтобы были независимые случайные величины
Приведите определение независимости случайных величин в терминах функций, пространств и мер. В частности, должны они быть определены на одном пространстве или нет?
bayah в сообщении #1326188 писал(а):
И затем перемножаю их
Как вы перемножаете функции с разными областями определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение12.07.2018, 16:11 


03/04/14
206
mihaild в сообщении #1326230 писал(а):
Приведите определение независимости случайных величин в терминах функций, пространств и мер. В частности, должны они быть определены на одном пространстве или нет?


Я могу привести такое определение.
Величины $X$ и $Y$ независимы если для них выполняется:
$P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(X=x)$
для всех $x \in X$ и $y \in Y$.

mihaild в сообщении #1326230 писал(а):
Как вы перемножаете функции с разными областями определения?

Почему с разными? С одной и той же областью определения $\Omega$

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение12.07.2018, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2014
Москва
bayah в сообщении #1326250 писал(а):
Величины
Определение случайной величины дать можете?
bayah в сообщении #1326250 писал(а):
Почему с разными?
Ну вы же пишете
bayah в сообщении #1326188 писал(а):
пространство каждой

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение13.07.2018, 11:12 


03/04/14
206
mihaild в сообщении #1326251 писал(а):
Определение случайной величины дать можете?

Случайная величина есть функция $f: \Omega \to \mathbb R$

mihaild в сообщении #1326251 писал(а):
Ну вы же пишете
bayah в сообщении #1326188

писал(а):
пространство каждой

Ну они же одинаковые эти пространства...

В общем, вы хотите сказать, что нужно так:
Если есть события бросания монеты на вероятностном пространстве $\Omega = \{0, 1\}$, и случайные величины $X(\Omega)$ - выпадение на первой монете и $Y(\Omega)$ - на второй, то определяя мат ожидание произведения таких величин как
$E(XY) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)Y(\omega)P(\omega)$
это заведомо определяет что величины зависимые (так как $X = Y$ при всех $\omega$ )?
Тогда чтобы это были независимые величины нужно определить вероятностное пространство например так:
$\Omega = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$ и случайные величины $X((i, j))=i$ и $Y((i, j))=j$.

Тогда это становится корректным равенством:
$E(XY) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)Y(\omega)P(\omega) = \sum\limits_{x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)}xyP(X = x, Y = y)$

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение13.07.2018, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2014
Москва
bayah в сообщении #1326429 писал(а):
это заведомо определяет что величины зависимые?
Да, любые две неконстантные случайные величины на двухэлементном вероятностном пространстве зависимы.
bayah в сообщении #1326429 писал(а):
Тогда это становится корректным равенством:
$E(XY) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)Y(\omega)P(\omega) = \sum\limits_{x \in X(\Omega), y \in Y(\Omega)}xyP(X = x, Y = y)$
Это равенство выполнено вообще всегда (для конечных вероятностных пространств).
bayah в сообщении #1326429 писал(а):
Ну они же одинаковые эти пространства...
А чтобы говорить о независимости, вам нужны не "одинаковые" пространства для величин, а одно и то же для обеих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение13.07.2018, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15740
Новомосковск
Если случайные величины $X$ и $Y$ определены не на одном и том же вероятностном пространстве, а на "одинаковых", то мы не можем использовать эти величины вместе из-за того, что у них разные области определения. В частности, мы не можем рассматривать величины $X+Y$ или $XY$, потому что, например, сумма функций $X+Y$ определяется как $(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)$, где $\omega$ во всех трёх случаях одно и то же, а не "одинаковые".

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание произведения
Сообщение13.07.2018, 18:40 


03/04/14
206
mihaild в сообщении #1326498 писал(а):
А чтобы говорить о независимости, вам нужны не "одинаковые" пространства для величин, а одно и то же для обеих.

Someone в сообщении #1326505 писал(а):
Если случайные величины $X$ и $Y$ определены не на одном и том же вероятностном пространстве, а на "одинаковых", то мы не можем использовать эти величины вместе из-за того, что у них разные области определения.


Ну все, вроде дошло, спасибо).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Solaris86, victor.l


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group