2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение10.07.2018, 17:31 


01/09/14
310
Приведу начало доказательства теоремы
Цитата:
Теорема: Каждое множество может быть вполне упорядочено.

Доказательство: Пусть $S$ — произвольное множество. Определим функцию $\varphi$, выбрав произвольно из каждого непустого подмножества $S$ один элемент. Это можно на основании аксиомы выбора.
Рассмотрим класс $\mathcal{C}$ всех упорядоченных подмножеств множества $S$, обладающих следующим свойством: каждый элемент $x$ подмножества $A \in \mathcal{C}$ определяется как элемент, который функция $\varphi$ ставит в соответствие дополнению в $S$ множества $B_x$ всех элементов множества $A$, предшествующих $x$:
$$x=\varphi(S \setminus B_x)$$Очевидно, что класс $\mathcal{C}$ не пуст. В частности, ему принадлежат все конечные подмножества множества $S$ с первым элементом $x_1 = \varphi(S \setminus \emptyset) = \varphi(S)$ и последующими элементами, определяемыми вышепреведённой формулой: $x_n = \varphi(S \emptyminus \{ x_1, ..., x_{n-1} \})$.
Докажем сначала, что все множества класса $\mathcal{C}$ вполне упорядочены. Для этого заметим, что в каждом подмножестве множества $A \in \mathcal{C}$, содержащем некоторый его отрезок, минимальным элементом служит общий первый элемент $\varphi(S)$ всех множеств класса $\mathcal{C}$. Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$. Элемент $\varphi(A \setminus C)$ множества $A$, определяющий его отрезок $C$, представляет собой минимальный элемент подмножества $B \in A$. Таким образом, каждое подмножество множества $A \in \mathcal{C}$ имеет минимальный элемент, что и доказывает полную упорядоченность множества $A \in \mathcal{C}$.
Тут столько крутых поворотов в сюжете, что я теряю нить повествования. Пусть у меня $A$ — множество $\{ 0,1,2,3 \}$. Если я правильно понял, получается что множество $B$ — это множество $\{ 3 \}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение10.07.2018, 19:31 


01/09/14
310
Вместо
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
определяемыми вышепреведённой формулой: $x_n = \varphi(S  \{ x_1, ..., x_{n-1} \})$.
Следует читать
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
определяемыми вышепреведённой формулой: $x_n = \varphi(S \setminus \{ x_1, ..., x_{n-1} \})$.


-- 10.07.2018, 20:40 --

Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Пусть у меня $A$ — множество $\{ 0,1,2,3 \}$. Если я правильно понял, получается что множество $B$ — это множество $\{ 3 \}$?
Хочу написать по-другому: пусть $S = \{0,1,2,3\}$. Можно ли тогда $\varphi$ определить так:
$$\varphi(S) = 0,$$$$\varphi(S \setminus \{ 0\}) = 1,$$$$\varphi(S \setminus \{ 0, 1\}) = 2,$$$$\varphi(S \setminus \{ 0,1,2\}) = 3\text{?}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение10.07.2018, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16229
Новомосковск
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Пусть у меня $A$ — множество $\{ 0,1,2,3 \}$. Если я правильно понял, получается что множество $B$ — это множество $\{ 3 \}$?
Предполагается, что $0=\varphi(S)$, $1=\varphi(S\setminus\{0\})$, $2=\varphi(S\setminus\{0,1\})$, $3=\varphi(S\setminus\{0,1,2\})$? Тогда $B$ — любое подмножество $A$ не содержащее $0$.
Замечание. Под отрезком множества $A$ я понимаю любое его подмножество вида $\{x\in A:x\leqslant k\}$, где $k\in A$. Если в вашем источнике под отрезком понимается что-то другое, то будет хорошо, если Вы нас проинформируете.

Charlz_Klug в сообщении #1325715 писал(а):
Можно ли тогда $\varphi$ определить так:
Нет. Функцию выбора Вы должны определить до того, как начнёте определять что-либо ещё.

Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Элемент $\varphi(A \setminus C)$ множества $A$, определяющий его отрезок $C$, представляет собой минимальный элемент подмножества $B \in A$.
Тут, вроде бы, должно быть $\varphi(S\setminus C)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 04:02 
Заслуженный участник


31/12/15
404
Идея такая: мы выбираем элемент за элементом, пользуясь заданной заранее функцией выбора, пока множество не кончится. На первом шаге мы выбираем элемент $x_1=\varphi(S)$. На втором шаге выбираем $x_2=\varphi(S-\{x_1\})$. На третьем $x_3=\varphi(S-\{x_1,x_2\})$. Допустим, мы уже выбрали счётное число элементов $\{x_1,x_2,x_3\ldots\}$, но остаток множества $S$ ещё не пустой. Тогда выбираем из этого остатка элемент $\varphi(S-\{x_1,x_2,x_3\ldots\})$ и это будет элемент $x_{\omega}$. Затем выбираем $x_{\omega+1}$,$x_{\omega+2}$ и так далее, пока $S$ не кончится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 10:19 


01/09/14
310
Из "Лекций по функциональному анализу" В.С. Пугачёв, страница 33:
Цитата:
Отрезком упорядоченного множества $A$, определяемым элементом $a \in A$, называется множество всех элементов $A$, строго предшествующих $a$.


-- 11.07.2018, 11:20 --

george66, с этим мне удалось разобраться, вроде бы. Мне не понятно про отрезки.

-- 11.07.2018, 11:26 --

Как я понимаю, понятие отрезка по Пугачёву отличается от понятия отрезка по Someone. Потому что по Пугачёву получаются отрезками в $A$ следующие множества: для $1$$\{0\}$, для $2$$\{0, 1\}$, для $3$$\{0,1,2\}$.

-- 11.07.2018, 11:28 --

Someone в сообщении #1325716 писал(а):
Предполагается, что $0=\varphi(S)$, $1=\varphi(S\setminus\{0\})$, $2=\varphi(S\setminus\{0,1\})$, $3=\varphi(S\setminus\{0,1,2\})$?
Да, именно так.

-- 11.07.2018, 11:31 --

Someone в сообщении #1325716 писал(а):
Тут, вроде бы, должно быть $\varphi(S\setminus C)$.
Я списал точно с книги (страница 34).

-- 11.07.2018, 11:48 --

Someone в сообщении #1325716 писал(а):
Под отрезком множества $A$ я понимаю любое его подмножество вида $\{x\in A:x\leqslant k\}$, где $k\in A$.
Как я понял по вашему определению получается, что для, например, $2$ отрезками могут служить и $\{0\}$ и $\{0,1\}$ и $\{0,1,2\}$ и $\{1\}$ и $\{1,2\}$ и $\{2\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16229
Новомосковск
Charlz_Klug в сообщении #1325817 писал(а):
Как я понимаю, понятие отрезка по Пугачёву отличается от понятия отрезка по Someone.
Как я вижу, отличие состоит только в том, что у меня исключается пустой отрезок. Как я понял из цитируемого Вами отрывка
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$
пустой отрезок нужно исключить, потому что он содержится в любом $B$. Поскольку цитируемый Вами автор ничего не сказал о пустом отрезке, я подумал, что используемое им определение не допускает пустых отрезков, поэтому так и сформулировал. При том определении, которое Вы привели, процитированная выше фраза должна быть такой: "Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого непустого отрезка множества $A$, …".

Charlz_Klug в сообщении #1325817 писал(а):
Как я понимаю, понятие отрезка по Пугачёву отличается от понятия отрезка по Someone. Потому что по Пугачёву получаются отрезками в $A$ следующие множества: для $1$$\{0\}$, для $2$$\{0, 1\}$, для $3$$\{0,1,2\}$.
Ага. А для $0$$\varnothing$. А моё определение для $0$ даёт $\{0\}$, для $1$$\{0,1\}$ и т.д., не давая при этом $\varnothing$.

Charlz_Klug в сообщении #1325817 писал(а):
Я списал точно с книги (страница 34).
Значит, там опечатка. Элементы же определяются как $\varphi(S\setminus C)$.

Charlz_Klug в сообщении #1325817 писал(а):
Как я понял по вашему определению получается, что для, например, $2$ отрезками могут служить и $\{0\}$ и $\{0,1\}$ и $\{0,1,2\}$ и $\{1\}$ и $\{1,2\}$ и $\{2\}$?
И каким же образом Вы получили два первых и три последних? У меня получается только $\{0,1,2\}$. (Кстати, если в перечислении союз "и" повторяется, то перед ним ставится запятая, за исключением самого первого.)

На всякий случай: $\{x\in A:\Phi(x)\}$ обозначает совокупность всех элементов множества $A$, для которых формула $\Phi(x)$ (со свободной переменной $x$) истинна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 12:29 


01/09/14
310
Someone в сообщении #1325843 писал(а):
$\{x\in A:\Phi(x)\}$
Я это понял как произвольно взятые $x$ для которых истинно $\Phi(x)$. А оно оказалось для всех $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16229
Новомосковск
Это стандартное обозначение. Я никогда не встречал других толкований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 13:45 


01/09/14
310
Спасибо, буду знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 14:52 


01/09/14
310
Теперь хочу выяснить про
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$.
Значит ли это что максимальный отрезок $C$ един для всяких разных подмножеств $B$, или для каждого разного $B$ существует свой отдельный максимальный отрезок $C$?

-- 11.07.2018, 16:00 --

Да, я упустил когда печатал про
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$.
Полностью должно было быть так:
Цитата:
Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$, который, очевидно, представляет собой объединение всех отрезков множества $A$, не пересекающихся с $B$.


-- 11.07.2018, 16:01 --

Так понимаю, что для каждого $B$ есть свой максимальный отрезок $C$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16229
Новомосковск
Charlz_Klug в сообщении #1325929 писал(а):
Так понимаю, что для каждого $B$ есть свой максимальный отрезок $C$?
Да. Отрезок $C$ ведь определяется с помощью конкретного подмножества $B\subset A$ и даёт минимальный элемент именно для $B$, поэтому нет оснований предполагать, что $C$ один и тот же для всех $B$.

Charlz_Klug в сообщении #1325929 писал(а):
не содержащего никакого отрезка
Ещё раз уточняю: не содержащего никакого непустого отрезка. Раз уж стандартное определение допускает пустой отрезок, его надо исключить (и отдельно объяснить, как найти минимальный элемент, если $A\setminus B$ не содержит непустых отрезков).

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение12.07.2018, 22:07 


01/09/14
310
Someone, большое спасибо за разъяснения! Стало понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group