2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение10.07.2018, 17:31 


01/09/14
278
Приведу начало доказательства теоремы
Цитата:
Теорема: Каждое множество может быть вполне упорядочено.

Доказательство: Пусть $S$ — произвольное множество. Определим функцию $\varphi$, выбрав произвольно из каждого непустого подмножества $S$ один элемент. Это можно на основании аксиомы выбора.
Рассмотрим класс $\mathcal{C}$ всех упорядоченных подмножеств множества $S$, обладающих следующим свойством: каждый элемент $x$ подмножества $A \in \mathcal{C}$ определяется как элемент, который функция $\varphi$ ставит в соответствие дополнению в $S$ множества $B_x$ всех элементов множества $A$, предшествующих $x$:
$$x=\varphi(S \setminus B_x)$$Очевидно, что класс $\mathcal{C}$ не пуст. В частности, ему принадлежат все конечные подмножества множества $S$ с первым элементом $x_1 = \varphi(S \setminus \emptyset) = \varphi(S)$ и последующими элементами, определяемыми вышепреведённой формулой: $x_n = \varphi(S \emptyminus \{ x_1, ..., x_{n-1} \})$.
Докажем сначала, что все множества класса $\mathcal{C}$ вполне упорядочены. Для этого заметим, что в каждом подмножестве множества $A \in \mathcal{C}$, содержащем некоторый его отрезок, минимальным элементом служит общий первый элемент $\varphi(S)$ всех множеств класса $\mathcal{C}$. Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$. Элемент $\varphi(A \setminus C)$ множества $A$, определяющий его отрезок $C$, представляет собой минимальный элемент подмножества $B \in A$. Таким образом, каждое подмножество множества $A \in \mathcal{C}$ имеет минимальный элемент, что и доказывает полную упорядоченность множества $A \in \mathcal{C}$.
Тут столько крутых поворотов в сюжете, что я теряю нить повествования. Пусть у меня $A$ — множество $\{ 0,1,2,3 \}$. Если я правильно понял, получается что множество $B$ — это множество $\{ 3 \}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение10.07.2018, 19:31 


01/09/14
278
Вместо
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
определяемыми вышепреведённой формулой: $x_n = \varphi(S  \{ x_1, ..., x_{n-1} \})$.
Следует читать
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
определяемыми вышепреведённой формулой: $x_n = \varphi(S \setminus \{ x_1, ..., x_{n-1} \})$.


-- 10.07.2018, 20:40 --

Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Пусть у меня $A$ — множество $\{ 0,1,2,3 \}$. Если я правильно понял, получается что множество $B$ — это множество $\{ 3 \}$?
Хочу написать по-другому: пусть $S = \{0,1,2,3\}$. Можно ли тогда $\varphi$ определить так:
$$\varphi(S) = 0,$$$$\varphi(S \setminus \{ 0\}) = 1,$$$$\varphi(S \setminus \{ 0, 1\}) = 2,$$$$\varphi(S \setminus \{ 0,1,2\}) = 3\text{?}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение10.07.2018, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15740
Новомосковск
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Пусть у меня $A$ — множество $\{ 0,1,2,3 \}$. Если я правильно понял, получается что множество $B$ — это множество $\{ 3 \}$?
Предполагается, что $0=\varphi(S)$, $1=\varphi(S\setminus\{0\})$, $2=\varphi(S\setminus\{0,1\})$, $3=\varphi(S\setminus\{0,1,2\})$? Тогда $B$ — любое подмножество $A$ не содержащее $0$.
Замечание. Под отрезком множества $A$ я понимаю любое его подмножество вида $\{x\in A:x\leqslant k\}$, где $k\in A$. Если в вашем источнике под отрезком понимается что-то другое, то будет хорошо, если Вы нас проинформируете.

Charlz_Klug в сообщении #1325715 писал(а):
Можно ли тогда $\varphi$ определить так:
Нет. Функцию выбора Вы должны определить до того, как начнёте определять что-либо ещё.

Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Элемент $\varphi(A \setminus C)$ множества $A$, определяющий его отрезок $C$, представляет собой минимальный элемент подмножества $B \in A$.
Тут, вроде бы, должно быть $\varphi(S\setminus C)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 04:02 
Заслуженный участник


31/12/15
354
Идея такая: мы выбираем элемент за элементом, пользуясь заданной заранее функцией выбора, пока множество не кончится. На первом шаге мы выбираем элемент $x_1=\varphi(S)$. На втором шаге выбираем $x_2=\varphi(S-\{x_1\})$. На третьем $x_3=\varphi(S-\{x_1,x_2\})$. Допустим, мы уже выбрали счётное число элементов $\{x_1,x_2,x_3\ldots\}$, но остаток множества $S$ ещё не пустой. Тогда выбираем из этого остатка элемент $\varphi(S-\{x_1,x_2,x_3\ldots\})$ и это будет элемент $x_{\omega}$. Затем выбираем $x_{\omega+1}$,$x_{\omega+2}$ и так далее, пока $S$ не кончится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 10:19 


01/09/14
278
Из "Лекций по функциональному анализу" В.С. Пугачёв, страница 33:
Цитата:
Отрезком упорядоченного множества $A$, определяемым элементом $a \in A$, называется множество всех элементов $A$, строго предшествующих $a$.


-- 11.07.2018, 11:20 --

george66, с этим мне удалось разобраться, вроде бы. Мне не понятно про отрезки.

-- 11.07.2018, 11:26 --

Как я понимаю, понятие отрезка по Пугачёву отличается от понятия отрезка по Someone. Потому что по Пугачёву получаются отрезками в $A$ следующие множества: для $1$$\{0\}$, для $2$$\{0, 1\}$, для $3$$\{0,1,2\}$.

-- 11.07.2018, 11:28 --

Someone в сообщении #1325716 писал(а):
Предполагается, что $0=\varphi(S)$, $1=\varphi(S\setminus\{0\})$, $2=\varphi(S\setminus\{0,1\})$, $3=\varphi(S\setminus\{0,1,2\})$?
Да, именно так.

-- 11.07.2018, 11:31 --

Someone в сообщении #1325716 писал(а):
Тут, вроде бы, должно быть $\varphi(S\setminus C)$.
Я списал точно с книги (страница 34).

-- 11.07.2018, 11:48 --

Someone в сообщении #1325716 писал(а):
Под отрезком множества $A$ я понимаю любое его подмножество вида $\{x\in A:x\leqslant k\}$, где $k\in A$.
Как я понял по вашему определению получается, что для, например, $2$ отрезками могут служить и $\{0\}$ и $\{0,1\}$ и $\{0,1,2\}$ и $\{1\}$ и $\{1,2\}$ и $\{2\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15740
Новомосковск
Charlz_Klug в сообщении #1325817 писал(а):
Как я понимаю, понятие отрезка по Пугачёву отличается от понятия отрезка по Someone.
Как я вижу, отличие состоит только в том, что у меня исключается пустой отрезок. Как я понял из цитируемого Вами отрывка
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$
пустой отрезок нужно исключить, потому что он содержится в любом $B$. Поскольку цитируемый Вами автор ничего не сказал о пустом отрезке, я подумал, что используемое им определение не допускает пустых отрезков, поэтому так и сформулировал. При том определении, которое Вы привели, процитированная выше фраза должна быть такой: "Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого непустого отрезка множества $A$, …".

Charlz_Klug в сообщении #1325817 писал(а):
Как я понимаю, понятие отрезка по Пугачёву отличается от понятия отрезка по Someone. Потому что по Пугачёву получаются отрезками в $A$ следующие множества: для $1$$\{0\}$, для $2$$\{0, 1\}$, для $3$$\{0,1,2\}$.
Ага. А для $0$$\varnothing$. А моё определение для $0$ даёт $\{0\}$, для $1$$\{0,1\}$ и т.д., не давая при этом $\varnothing$.

Charlz_Klug в сообщении #1325817 писал(а):
Я списал точно с книги (страница 34).
Значит, там опечатка. Элементы же определяются как $\varphi(S\setminus C)$.

Charlz_Klug в сообщении #1325817 писал(а):
Как я понял по вашему определению получается, что для, например, $2$ отрезками могут служить и $\{0\}$ и $\{0,1\}$ и $\{0,1,2\}$ и $\{1\}$ и $\{1,2\}$ и $\{2\}$?
И каким же образом Вы получили два первых и три последних? У меня получается только $\{0,1,2\}$. (Кстати, если в перечислении союз "и" повторяется, то перед ним ставится запятая, за исключением самого первого.)

На всякий случай: $\{x\in A:\Phi(x)\}$ обозначает совокупность всех элементов множества $A$, для которых формула $\Phi(x)$ (со свободной переменной $x$) истинна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 12:29 


01/09/14
278
Someone в сообщении #1325843 писал(а):
$\{x\in A:\Phi(x)\}$
Я это понял как произвольно взятые $x$ для которых истинно $\Phi(x)$. А оно оказалось для всех $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15740
Новомосковск
Это стандартное обозначение. Я никогда не встречал других толкований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 13:45 


01/09/14
278
Спасибо, буду знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 14:52 


01/09/14
278
Теперь хочу выяснить про
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$.
Значит ли это что максимальный отрезок $C$ един для всяких разных подмножеств $B$, или для каждого разного $B$ существует свой отдельный максимальный отрезок $C$?

-- 11.07.2018, 16:00 --

Да, я упустил когда печатал про
Charlz_Klug в сообщении #1325703 писал(а):
Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$.
Полностью должно было быть так:
Цитата:
Для каждого подмножества $B$ множества $A$, не содержащего никакого отрезка множества $A$, существует максимальный отрезок $C$ множества $A$, не пересекающийся с $B$, который, очевидно, представляет собой объединение всех отрезков множества $A$, не пересекающихся с $B$.


-- 11.07.2018, 16:01 --

Так понимаю, что для каждого $B$ есть свой максимальный отрезок $C$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение11.07.2018, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15740
Новомосковск
Charlz_Klug в сообщении #1325929 писал(а):
Так понимаю, что для каждого $B$ есть свой максимальный отрезок $C$?
Да. Отрезок $C$ ведь определяется с помощью конкретного подмножества $B\subset A$ и даёт минимальный элемент именно для $B$, поэтому нет оснований предполагать, что $C$ один и тот же для всех $B$.

Charlz_Klug в сообщении #1325929 писал(а):
не содержащего никакого отрезка
Ещё раз уточняю: не содержащего никакого непустого отрезка. Раз уж стандартное определение допускает пустой отрезок, его надо исключить (и отдельно объяснить, как найти минимальный элемент, если $A\setminus B$ не содержит непустых отрезков).

 Профиль  
                  
 
 Re: Понять доказательство теоремы Цермело
Сообщение12.07.2018, 22:07 


01/09/14
278
Someone, большое спасибо за разъяснения! Стало понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: MChagall


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group