Математический смысл физической работы

[ellipse]

Чем особенный этот интеграл?

$$\int\limits_{t_1}^{t_2}x''(t)x'(t)dt$$

Почему работа при прямолинейном движении тела постоянной массы выражается подобным образом (с точностью до массы)? Да, формула с интегралом силы по пути красивая $A=\int_{\Gamma}F(s)ds$, но хочется сначала понять математический смысл работы для простого случая.

Скорость - это скорость изменения координаты. Ускорение - скорость изменения скорости. Сила - скорость изменения импульса. Все выражается через производные. А с работой нет такого математически очевидного объяснения.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тематика.

-- 10.07.2018, 15:39 --

Вспомните физический смысл $x'(t)$ и $x''(t)$, а заодно второй закон Ньютона.

[thething]

Потому что сила равна масса умножить на ускорение, а ускорение -- вторая производная координаты по времени. При прямолинейном же движении для параметризации как раз и достаточно всего одной координаты, вот и получается $ds=x'(t)dt$. Вообще, поскольку этот интеграл второго рода, то стОило писать $x$ вместо $s$

[Dragon27]

ellipse в сообщении #1325673 писал(а):

Скорость - это скорость изменения координаты. Ускорение - скорость изменения скорости. Сила - скорость изменения импульса. Все выражается через производные. А с работой нет такого математически очевидного объяснения.

А чем интеграл математически менее очевиден, чем производная? Вы же знаете, что такое интеграл? Математический смысл $A=\int F(s)ds$ - интеграл функции силы по переменной пути.
Ну, например, если мы нарисуем функцию $F(s)$, то работа будет равна площади под графиком.
Можно наоборот, силу рассматривать как производную энергии по пути.

[ellipse]

Dragon27 в сообщении #1325710 писал(а):

Вы же знаете, что такое интеграл? Математический смысл $A=\int F(s)ds$ - интеграл функции силы по переменной пути.

Но почему именно интеграл силы по пути такой важный для всей физики и для него выполняется вселенской значимости закон сохранения? Почему сохраняется именно этот интеграл? Интуиция подсказывает, что важные понятия в физике должны обладать какими-то особенными математическими свойствами.

[Pphantom]

ellipse в сообщении #1325720 писал(а):

Но почему именно интеграл силы по пути такой важный для всей физики и для него выполняется вселенской значимости закон сохранения? Почему сохраняется именно этот интеграл?

А почему, собственно, он сохраняется? Похоже, Вы что-то перепутали.

[ellipse]

Pphantom в сообщении #1325739 писал(а):

ellipse в сообщении #1325720 писал(а):

Но почему именно интеграл силы по пути такой важный для всей физики и для него выполняется вселенской значимости закон сохранения? Почему сохраняется именно этот интеграл?

А почему, собственно, он сохраняется? Похоже, Вы что-то перепутали.

Имею ввиду закон сохранения энергии.

[Dragon27]

Вы пытаетесь что-то "интуитивно" осознать, но сами не понимаете что.
Собственно, показанный вами в первом посте интеграл, хорош тем, что его можно удобно проинтегрировать.

$$\int\limits_{t_1}^{t_2}x''(t)x'(t)dt=\frac{x'^2(t_2)}{2}-\frac{x'^2(t_1)}{2}$$

А это значит, что для вычисления работы достаточно знать квадрат скорости в начале и в конце пути (или наоборот, зная скорости, вычислить работу). Отсюда и теорема о кинетической энергии (кинетическая энергия тела увеличивается на количество работы произведённой над ним). Сам интеграл появляется в результате приложения второго закона Ньютона к формуле работы. Если при этом ещё работы потенциальна (то есть, выражается в виде градиента, или, в простом случае, производной потенциала по координате), то это позволяет нам ввести ещё одну функцию - потенциальную энергию, которая зависит только от положения тела (в то время как кинетическая энергия зависит только от скорости) и показать, что сумма этих двух энергий является постоянной величиной.

[ellipse]

Dragon27 в сообщении #1325804 писал(а):

Собственно, показанный вами в первом посте интеграл, хорош тем, что его можно удобно проинтегрировать.

$$\int\limits_{t_1}^{t_2}x''(t)x'(t)dt=\frac{x'^2(t_2)}{2}-\frac{x'^2(t_1)}{2}$$

А это значит, что для вычисления работы достаточно знать квадрат скорости в начале и в конце пути (или наоборот, зная скорости, вычислить работу).

А этот интеграл

$$\int\limits_{t_1}^{t_2}x''(t)(x'(t))^2dt=\frac{x'^3(t_2)}{3}-\frac{x'^3(t_1)}{3}$$

хорош тем, что его тоже можно удобно проинтегрировать и для его вычисления достаточно знать куб скорости в начале и в конце пути. Так почему же не выбрали его?

Dragon27 в сообщении #1325804 писал(а):

Вы пытаетесь что-то "интуитивно" осознать, но сами не понимаете что.

Кажется, уже нашел, в каком направлении надо двигаться. Это один из интегралов движения. Видимо, их особенность в инвариантности относительно определенных преобразований, в аддитивности.

Может кто-нибудь объяснит, как этот интеграл из первого поста ведет себя с Уравнение Гамильтона — Якоби, с симметрией лагранжиана, со скобкой Пуассона и как выражается аддитивность?

[DimaM]

ellipse в сообщении #1325673 писал(а):

Почему работа при прямолинейном движении тела постоянной массы выражается подобным образом (с точностью до массы)?

С точностью до массы под интегралом стоит произведение силы на скорость, то есть мощность. Получается интеграл мощности по времени.

[Pphantom]

ellipse, все-таки работа всех сил на некотором перемещении не является ни сохраняющейся величиной, ни интегралом движения.

[Dragon27]

ellipse в сообщении #1325808 писал(а):

хорош тем, что его тоже можно удобно проинтегрировать и для его вычисления достаточно знать куб скорости в начале и в конце пути. Так почему же не выбрали его?

Так я же написал, что из второго закона Ньютона появляется именно он. И полученная кинетическая энергия прекрасно сочетается с потенциальной для потенциальных сил (для которых $Fds=-dU$). А откуда у вас получится второй интеграл и какая от него польза?

ellipse в сообщении #1325808 писал(а):

Кажется, уже нашел, в каком направлении надо двигаться. Это один из интегралов движения.

Интегралом движения (благодаря симметрии по времени) всё-таки является энергия, а не работа.

[realeugene]

ellipse в сообщении #1325673 писал(а):

Чем особенный этот интеграл?

$$\int\limits_{t_1}^{t_2}x''(t)x'(t)dt$$

$$\int\limits_{t_1}^{t_2}x''(t)x'(t)dt = \int\limits_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\left(x'(t)\right)^2}{2}\right)'dt$$

Справа стоит интеграл от изменения кинетической энергии. Смысл: работа силы вдоль траектории равна увеличению кинетической энергии материальной точки. Это есть закон сохранения энергии.

[Walker_XXI]

ellipse в сообщении #1325720 писал(а):

Почему сохраняется именно этот интеграл? Интуиция подсказывает, что важные понятия в физике должны обладать какими-то особенными математическими свойствами.

ellipse в сообщении #1325774 писал(а):

Имею ввиду закон сохранения энергии.

ellipse в сообщении #1325808 писал(а):

Кажется, уже нашел, в каком направлении надо двигаться. Это один из интегралов движения. Видимо, их особенность в инвариантности относительно определенных преобразований, в аддитивности.

Если речь о сохранении энергии, то это связано с инвариантностью законов движения относительно сдвигов времени. Следует из чисто математических теорем, носящих имя Э.Нётер. А инвариантность законов относительно сдвигов времени - грубо говоря, что законы физики неизменны, сегодня такие же, как были вчера, и завтра останутся теми же - чисто экспериментальный факт. Без этого вообще никакой науки не было бы, и все наши предыдущие знания были бы бесполезны.