Движение с переменной массой

[MakVlad]

Помогите решить задачу. Я, или условие не так понял, или делаю ошибку.
Текст задачи: Скорость газа, выбрасываемого ракетой, относительно нее равна
$2$ км/с. Оцените начальную массу ракеты, которая может вывести на орбиту
Земли спутник массы $10^4$ кг. Как изменится результат при вдвое большей скорости
истечения газа?
Вот то, что я делаю:
Я вывел уравнение реактивной силы для ракеты с переменной массой: $F = m \frac{dv}{dt} - u \frac{dm}{dt}$ , где $u$ - скорость газов относительно ракеты
Записываю второй закон Ньютона: $F = m g$ :)
Подставляю это в первое уравнение: $m g dt = m dv - u dm$
Делю на массу и интегрирую. Вот, что получается: $g (t_{fin} - t_{beg}) = m (v_{fin} - v_{beg}) - u \ln\frac{m_{fin}}{m_{beg}}$
Начальную скорость приравниваю к первой космической(возможно тут я и ошибаюсь, ведь в "дано" задачи её нет). Начальное время - ноль, а $g t_{fin} = v_{beg}$
Получаю такую штуку: $2 v_{beg} = u \ln\frac{m_{fin}}{m_{beg}}$
После преобразований выходит такая формула: $m_{fin} = m_{beg} e^\frac{2 v_{beg}}{u}$
Подставляя данные из текста задачи и выражение для первой космической из интернета получаю неверный ответ

[Geen]

MakVlad в сообщении #1325277 писал(а):

Начальную скорость приравниваю к первой космической(возможно тут я и ошибаюсь, ведь в "дано" задачи её нет). Начальное время - ноль, а $g t_{fin} = v_{beg}$
Получаю такую штуку: $2 v_{beg} = u \ln\frac{m_{fin}}{m_{beg}}$

Что именно Вы делаете?? (и откуда двойка берётся?)

[Theoristos]

MakVlad: избавьтесь от члена с g, оно и записано не совсем корректно, и дальнейшие его "упрощения" - помесь спекуляций с ошибками. Пропадёт двойка и формула придёт в соответствие.
(также отмечу, что ваша $v_{beg}$ по наименованию - начальная скорость)

Формулировка задачи не вполне корректная, обычно просто приравнивают приращение скорости к орбитальной и на этом останавливаются.
Иногда, "для пущей точности", к орбитальной скорости плюсуют "скорость, необходимую для поднятия на высоту орбиты". Хотя к такой процедуре есть вопросы.

Корректная же задача по определению мин. веса топлива для вывода на заданную круговую орбиту вполне может быть поставлена (не так давно один из наших бывших форумчан таким развлекался),
но она требует перехода в двумерие, начинают вылезать посторонние параметры типа тяговооруженности и дополнительные граничные условия, а там недалеко и до учета влияния атмосферы и ограничений по макс. скоростному напору и $q\cdot\alpha$... и результат получается несколько запутанным и не таким наглядным.

[MakVlad]

Я не совсем понимаю, как избавится от члена с $g$. Можете дать какие-нибудь подсказки?

-- 09.07.2018, 10:08 --

Geen в сообщении #1325287 писал(а):

MakVlad в сообщении #1325277 писал(а):

Что именно Вы делаете?? (и откуда двойка берётся?)

Я прировнял $g t_{fin}$ к $v_{beg}$ те, если тело будет подать, то наберёт $v_{beg}$. далее прировнял $t_{beg} = 0$ & $v_{fin} = 0$
ПолучилосьЖ: $v_{beg} = -v_{beg} - u\ln\frac{m_{fin}}{m_{beg}}$
$2 v_{beg} = u\ln \frac{m_{beg}}{m_{fin}}$

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1325277 писал(а):

$g t_{fin} = v_{beg}$

Это неверно.

[MakVlad]

DimaM. А что мне тогда следует сделать. У меня появляется ещё одна неизвестная переменная. Как с ней бороться?

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1325363 писал(а):

А что мне тогда следует сделать. У меня появляется ещё одна неизвестная переменная. Как с ней бороться?

Для начала стоит силу положить нулем, как вам уже советовали. Пусть ракета разгоняется примерно горизонтально (это неплохое приближение, потому что для низких орбит $v_I^2\gg gh$ ($v_I$ - первая космическая скорость).

[MakVlad]

DimaM
Получается такая формула: $m_{beg} = m_{fin}e ^\frac{v_{beg}}{u}$
Если подставить первую космическую, то ответ похож на правилиный, но её значение не освещено в условии. Кстати, я забыл упомянуть, ЗСЭ использовать нельзя

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1325432 писал(а):

но её значение не освещено в условии. Кстати, я забыл упомянуть, ЗСЭ использовать нельзя

Беда-печаль.
К счастью, для вычисления первой космической ЗСЭ не нужен, исключительно формула для центростремительного ускорения. Ну или секретное значение 8 км/с.

[MakVlad]

DimaM
Я знаю, как вычислить первую космическую) Просто в условии не задан радиус орбиты. Это меня и смущает. А так, большое спасибо за помощь

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1325438 писал(а):

Просто в условии не задан радиус орбиты. Это меня и смущает.

Скорее всего, имеется в виду низкая околоземная орбита, если явно не указано обратное.

[Theoristos]

MakVlad в сообщении #1325341 писал(а):

Я не совсем понимаю, как избавится от члена с $g$. Можете дать какие-нибудь подсказки?

А я не понимаю откуда он у вас взялся.
Можете обоснованно прояснить?

MakVlad в сообщении #1325341 писал(а):

Я прировнял $g t_{fin}$ к $v_{beg}$ те, если тело будет подать, то наберёт $v_{beg}$. далее прировнял $t_{beg} = 0$ & $v_{fin} = 0$
ПолучилосьЖ: $v_{beg} = -v_{beg} - u\ln\frac{m_{fin}}{m_{beg}}$
$2 v_{beg} = u\ln \frac{m_{beg}}{m_{fin}}$

1. С какой стати $v_{fin}=0$? У вас ракета в конце по орбите лететь должна.

2. С какой вообще радости у вас $v_{beg}$ не равно нулю? Исходно ракета покоится на поверхности Земли.
Относительно какой системы отсчета вы вообще считаете скорости?

3. Вы вообще осознаёте, что $v_{beg}$ - это начальная (begin) скорость? Вы в конце-концов получаете некую формулу для начальной скорости, тогда как по идее должна бы получиться формула для конечной?
Формально, можно сказать что вы считаете в "орбитальной" системе координат, относительно которой стоявшая на Земле ракета летела с какой-то там большой скоростью, ответ и так должен получиться тот же, но это получается уж слишком переводвывернуто.

[MakVlad]

Theoristos
Я уже понял, что то, что я написал в начале - полная ерунда. И да, в последнем своём сообщении я перепутал индекс(случайно не то копировал из прошлого сообщения). Я всё исправил и получил выражение: $m_{beg} = m_{fin} e^\frac{v_{fin}}{u}$.
И подставляя значения в это выражение получается верный ответ