Диаметральная плоскость эллипсоида

[Tiberium]

Задача: Составьте уравнение диаметральной плоскости эллипсоида, делящей пополам хорды, параллельные вектору (2,1,2)

$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{4}=1$

Это и так сейчас станет очевидно, но признаю сам — с геометрией (в любых ее видах) у меня все очень плохо. А от слов "диаметральная плоскость" у меня повышается температура

Диаметральная плоскость эллипсоида — плоскость, содержащая середины параллельных хорд эллипсоида.

Можно выбрать две точки $ (x_1,y_1,z_1)$ и $ (x_2, y_2, z_2)$. Они должны лежать на эллипсоиде, то есть их можно подставить в уравнение эллипсоида.
Ещё у нас есть направляющий вектор, но я не очень понимаю, как связать все вместе. Поэтому:

1) Если это не запрещено правилами, прошу мне как-то намекнуть на то, как нужно рассуждать и какую картинку я должен увидеть, чтобы понять происходящее :)

2) Или просто посоветовать литературу или какие-нибудь задачники, где можно как теорию подтянуть, так и порешать что-нибудь похожее. Смотрел в Александрове и Месхелишвили, но теория сама по себе не очень помогает решать такие задачи.

Спасибо!

[Someone]

Пишете параметрические уравнения прямой с заданным направляющим вектором. Подставляете в уравнение эллипсоида. И размышляете, где же там середина между корнями.

Но вообще-то, наверняка где-нибудь в лекциях или учебнике были готовые формулы или способы нахождения.

[Tiberium]

Someone в сообщении #1325116 писал(а):

Пишете параметрические уравнения прямой с заданным направляющим вектором. Подставляете в уравнение эллипсоида. И размышляете, где же там середина между корнями.

Но вообще-то, наверняка где-нибудь в лекциях или учебнике были готовые формулы или способы нахождения.

Если я Вас правильно понял, у нас есть точка с координатами $ (x_0, y_0, z_0) $ - середина одной из хорд и направляющий вектор с координатами $ (2,1,2)$.

Тогда имеем систему следующих параметрических уравнений:

$$\begin{cases} {x-x_0=2t}\\ {y-y_0=t}\\ {z-z_0 =2t} \end{cases}$$

Что нам даст подстановка в уравнение эллипсоида? Извините, но не совсем понимаю. В Александрове есть рассуждения про диаметральные плоскости, но ясности это не внесло.

[iifat]

Tiberium в сообщении #1325130 писал(а):

Что нам даст подстановка в уравнение эллипсоида?

Как это — что? Ещё два уравнения, естественно. Сейчас у вас три уравнения, семь неизвестных. С двумя уравнениями эллипса получится пять уравнений, следовательно, две свободных переменных, как и полагается уважающей себя плоскости.

[Tiberium]

iifat в сообщении #1325143 писал(а):

Tiberium в сообщении #1325130 писал(а):

Что нам даст подстановка в уравнение эллипсоида?

Как это — что? Ещё два уравнения, естественно. Сейчас у вас три уравнения, семь неизвестных. С двумя уравнениями эллипса получится пять уравнений, следовательно, две свободных переменных, как и полагается уважающей себя плоскости.

Получилось $ 64x+18y+144z-270 = 0$, если я все верно сделал.